• 全网最全最详细的麦克斯韦方程组解析过程(修正)

    声明:本文是对我本人2023年2月6日在知乎上发表的《全网最全的麦克斯韦方程组求解过程与光学基础概念》一文的修正与补充。此文发表时,原文作废,但并不删除,特此广而告之。同时也感谢读者们的批评指正!

     

    摘要

    本文通过数形结合的方法详细剖析了麦克斯韦方程组的求解过程,并通过数学的微积分工具导出了光波的波动方程。通过数形结合与数学推导的方法,在一定程度上解决了目前市面上许多关于麦克斯韦方程组书籍解析看不懂的痛点,有助于广大爱好者的学习与理解。

     

    前言

    痛点

    你是否有过因为看不懂麦克斯韦方程组求解电磁波波动方程解析而放弃学习呢?我相信大部分学习者都存在这个问题,其原因包括但不限于:

    上述三个主要原因,而这一切既有自己的内部原因,也有外界的外部原因,要想学懂麦克斯韦方程组的求解,就必须解决好内部与外部的矛盾,即既要夯实自身数学基础,又要克服外界不利环境所带来的影响。

    又有人问了,为什么非要纠结求解过程呢?会用不就行了?这自然是好处多多的。只有把握好理论框架才能更好的研究细节,而细节又有助于提升和巩固框架的建设。形如建高楼大厦,只有扎实的地基,才能建设更加稳固、高大、炫彩的楼层,而学习正是夯实基础的过程!

    解决方案

    为了解决上述存在的痛点,本文旨在通过高度连续、严密的数学推导与图形结合的方法一点点揭开电磁波的真面目。解决方案如下:

    1. 通俗易懂:首先介绍了解麦克斯韦方程组过程中所用的数学理论,为了方便理解,尽量避免使用陌生的数学符号和晦涩难懂的学术语言
    2. 数形结合:图形是最容易理解知识的方式,而本文会涉及大量的数学知识,因此使用图形能更好的理解知识
    3. 避重就轻:由于有些定义要相互联系才能更好的理解,因此文中会出现一些在解麦克斯韦方程组中用不到的知识,这部分知识是用于理解其广义概念的知识,这部分会点到即可,不在本文中做过度讲解
    4. 高度连续:为了保证知识和逻辑的连续性,本文避免像某些教材一样在推导时跳来跳去,因此会导致知识冗余、文本较长,但我认为便于学习是值得的,因此不必造成过大的心理压力

    给读者的一些建议:

    1. 本文内容较长,但内容通俗易懂,不要给自己太大的心理压力
    2. 采用“先加后减”的思路进行学习,即:整体(框架) 局部(细节) 整体(框架),该方式可有效解决局部与整体差异的矛盾,便于从整体上把握细节,从细节上补充整体
    3. 由于知识系统化较明显,建议寻找时间进行集中学习,避免零碎化学习
    4. 克服对自然科学的畏惧心理,战神自己的永远只有自己,害怕踏出第一步,那就永远到不了梦想的远方
    5. 知识较多,请静下心来研学,切不可急功近利
    6. 如读者有一定的数学基础可以直接跳过数学基础部分

     

    数学基础

    坐标系系统

    坐标系可以直观的描述代数,既可以描述点、线、面等标量参数,也可以描述具有大小和方向的矢量参数,既可以描述实数域,也可以描述复数域,是几何与代数的基础。

    直角坐标系

    直角坐标系是描述几何与代数的最基本坐标系统,是由垂直的相交直线构成的,常用的直角坐标系包括一维、二维、三维直角坐标系,而更高维度的直角坐标系无法使用图形进行展示,而是使用正交的单位向量进行描述,称为标准正交基。

    维度坐标图形标准正交基
    一维
    (数轴)
    image-20231229153326650——
    二维(平面)image-20231229153202761x=[10],y=[01]
    三维(空间)image-20231229154838508x=[100],y=[010],z=[001]
    四维(高维)——e1=[1000],e2=[0100],e3=[0010],e4=[0001]

    极坐标系

    极坐标系由射线与角度表示,如下图所示,极坐标上的点使用射线长度 ρ 和射线逆时针旋转与点的角度 θ 表示,即点 P(ρ,θ)

    极坐标系属于二维平面坐标系,因此可以与平面直角坐标系进行相互转化,可以使用三角关系式推导得到。如点 P(x,y)=P(ρ,θ) 转化关系如下:

    {x=ρcosθy=ρsinθ{ρ=x2+y2θ=arctan(yx)

    image-20231229175729331

    球面坐标系

    使用二维坐标系表示直角坐标系中的圆 x2+y2=r2 得到极坐标关系式为:

    x2+y2=r2{x=rcosθy=rsinθ(rcosθ)2+(rsinθ)2=r2

    其中 cos2θ+sin2θ=1.

    球面坐标系的本质是三维的极坐标系,球面坐标系与空间直角坐标系的使用二维圆的转换方法得到如下结果:

    x2+y2+z2=r2{y=rsinφsinθx=rsinφcosθz=rcosφ(rsinφcosθ)2+(rsinφsinθ)2+(rcosφ)2=(rsinφ)2(cos2θ+sin2θ)+(rcosφ)2=r2(sin2φ+cos2φ)=r2

    这种转化后的结果就是球面坐标系,其便于对含有平方项的空间被积函数进行积分,如下图所示:

    Ωxyzf(x,y,z)dxdydz=Ωrθφf(rcosθsinφ,rsinθcosφ,rcosφ)dr(rdθ)(rsinφdφ)=θ1θ2dθφ1φ2dφr1(φ,θ)r2(φ,θ)f(rcosθsinφ,rsinθcosφ,rcosφ)r2sinφdr

    image-20240108132635015

    drdθdφ
    image-20230519165216896image-20230519165517972image-20230519164139910
    0r<+0θ2π0φπ
    球面弧面圆锥面

    柱面坐标系

    柱面坐标系是特殊化的球面坐标系,即 x0y 面使用极坐标系表示,而 z 轴使用直角坐标系,如下图所示:

    image-20230519153504295

    柱面函数为:x2+y2=r2,这与圆的函数是一样的,但其本质是不同的,圆是平面函数,而圆柱是空间函数。圆柱函数表明了其投影是一个圆,且与 z 的变化无关。其转换关系为:

    {x=rcosθy=rsinθz=z

    三角函数

    波是连续介质的一个扰动并以固定的形状和一定的速度传播,最常见的波是正弦波。需要注意的是,正弦波的数学形式包含正弦函数和余弦函数两种形式,因此,正弦波 正弦函数。

    电磁波中的正弦波的数学形式通常使用余弦函数,当然也有些教材是使用正弦函数来描述的,这并无大碍,因为正弦函数向左移动 π2 就得到了余弦函数,即:sin(x+π2)=cosx。因此,选择合适自己的即可,无需过多纠结!

    电磁波既与时间有关,也与空间位置有关。常见的正弦波函数为:

    f(r,t)=Acos(k^r+ωt+φ0)
    符号名称说明
    f(r,t)函数位置与时间的函数
    A振幅波振动的大小
    r位置函数与位置有关的函数,r 是矢量,后文会详细讲解
    k^波矢波传播的方向,|k^|=2πλ (λ 是空间周期,波长)
    ω角速度ω=2πT (T 是时间周期)
    t时刻——
    φ0初相位开始振动时的角度
    k^r+ωt+φ0相位某时刻某位置的角度

    仅关于时间的正弦波函数

    为了避免细节被忽略,正弦函数仍采用原始的表达式,下同。而当选取下图位置(原点 r=0处)进行观察关于时间的正弦波函数时,其表达式应该为:f(0,t)=Acos(ωt+φ0),这是一个标量函数!

    image-20240108144241498

    仅关于位置的正弦波函数

    下述情形的波函数为:f(r,0)=Acos(k^r+φ0). 值得说明的是,波矢(k^)与位置(r)都是矢量,且两者是一一对应的关系,可以是一维、二维、三维空间的参数。因矢量的叠加性原理,通常为了方便计算而选取某一特定方向进行研究,比如一些教材会选择沿 z 轴方向进行研究。要注意下面两者之间的差异,第一个是一般形式,第二个是特殊形式!

    image-20240108144524402

    image-20240108144939359

    矢量运算

    本文仅做简单介绍用于温习,相信学习者在阅读本文前对矢量有清晰明确的认识了,如果没有的话,在后续学习中遇到困难时,应及时补充相关的矢量知识。

    定义

    image-20231229201731587

    向量坐标表示法向量表示法
    aa=OA=(30,20)=(3,2)a=OA=(30)i+(20)j=3i+2j
    bb=BC=(35,41)=(2,3)b=BC=(35)i+(41)j=2i+3j

    说明:

    两种基本分解合成方法

    矢量只与初始位置有关,与路径无关,因此同一个向量可以使用两个或两个以上不同的向量表示,因此可以使用特殊的向量进行表示,如正交向量。矢量常使用两个矢量和的方法进行叠加合成,具体有三角形法则和四边形法则进行合成或分解,这在力、电场、磁场等物理矢量的合成与分解中是非常常见的,特别是正交的合成与分解为计算提供了便利。

    名称表达式任意图解法正交图解法
    三角形法则c=a+bimage-20231229210708229image-20231229210804694
    四边形法则c=a+bimage-20231229211207236image-20231229211238879

    矢量基本运算法则

    运算法则表达式图解
    矢量相加c=a+bimage-20231229210708229
    矢量相减a=c+(b)image-20231229213106799
    标量与矢量相乘b=1.5aimage-20231229214306906
    矢量内积(点乘)ab=|a||b|cosθimage-20231229215627718
    矢量外积(叉乘)|a×b|=|a||b|sinθa×b=|a||b|sinθn
    nab 的单位法向量
    image-20231229215631462

    矢量内积的结果是标量,而矢量的外积是矢量,当矢量是三维空间向量时,其外积计算为:

    a×b=|ijkaxayazbxbybz|=|ayazbybz|i+|axazbxbz|j+|axaybxby|k

    空间向量

    单位向量

    沿着某一方向的长度为 1 的向量,常用 ijk 表示三维空间直角坐标系中沿着 xyz 轴方向的单位向量,同理,二维平面直角坐标系则用 ij 表示。

    二维平面空间三维立体空间
    image-20240101120213705image-20240101115849081

    向量与曲面

    根据矢量的叠加性,三维空间的向量 r 可以分解为沿 xyz 三个轴的向量 rxryrz ,而这三个向量可以由其单位向量表示,即:rx=airx=bjrx=ck ,而 a,b,c 是倍数,从向量的角度来看,向量 r 表示原点 (0,0,0) 到点 (a,b,c) 两点的向量,即:

    r=rxi+ryj+rzk=ai+bj+ck

    同理有:

    image-20240101151247046

    传播方向与振动方向

    如下图所示,是一正弦波扰动传播的情况,图中标注了波的传播方向与振动方向。需要说明的是,下图给出的是沿 x 方向传播的,是一种特殊情况,更一般的情况是沿 r=xi+yj+zk 方向传播,而振动方向与传播方向垂直!因而传播函数可改写为:f(r)=Acos(k^r+φ0) ,需要注意的是 k^ 是波矢,其模 k=|k^|=2πλ 是波的空间参数,与时间相位 ωt 中的 ω 类似。

    传播方向与振动方向

    复变函数

    复数与复变函数

    形如a+biab均为实数)的数为复数,其中,a 被称为实部,b 被称为虚部,i 为虚数单位。复数通常用 z 表示,即 z=a+bi (注意不要把这里的 z 与三维空间坐标轴 z 混为一谈,只是数学中一种习惯规定,使用其他字母替代也是可以的)

    使用变量 x,y 代替 a,b 时,则表示整个复平面内所有的复数,称为复变函数,如下图所示。注意复数域与二维平面域有本质的区别,但某些性质却是相同的。

    image-20231231121916459

    将复平面坐标系转化为极坐标系:

    z=x+yi{x=rcosθy=rsinθyx=rsinθrcosθ=tanθ{θ=arctanyxr=|z|=x2+y2z=rcosθ+rsinθi

    欧拉公式

    根据泰勒展开式有:

    因此有:ez=ex+yi=exeyi ,当取 x=0 时,对 ez=eyi 进行泰勒展开得:

    ez=e0+yi=eyi=1+yi+(yi)22!+(yi)33!++(yi)nn!+=1+yi+i2y22!+i3y33!++inynn!+=1y+y22!y33!+y44!y55!++ynn!+=(1y22!+y44!+)(yy33!+y55!+)=cosysiny=cosy+sinyi

    即:

    eyi=cosy+sinyi

    这就是欧拉公式!如果想要跟教材的写法一致,则将 y 变成 θ 即:eθi=cosθ+sinθi

    使用极坐标的转换中介,即可得到复变函数的三种形式,转换过程如下:

    z=x+yi{x=rcosθy=rsinθr2=x2+y2z=r(cosθ+sinθi)z=reθi

    复数与波函数

    根据公式 z=reθi=r(cosθ+sinθi) 可知,可以使用复数表示波函数,只有取实部时才有物理现实意义,即正弦波函数为:

    Re(z)=Re(reθi)=Re(rcosθ+rsinθi)=rcosθRe(Ae(kr+ωt+φ0)i)=Acos(kr+ωt+φ0)=f(r,t)

    复数具有良好的计算性质,使用复数来表示波函数可以避免三角函数的复杂计算过程,大大提高计算效率!本文也倾向使用该方法描述波函数。

    微分运算

    导数

    导数是研究一元函数性态的重要工具,而偏微分是研究多元函数(二元及以上)性态的工具。导数的几何意义是函数某点的斜率(变化率),因此导数是一个数值,而非函数,将各点的导数使用光滑的曲线连接起来,则为导函数。导数的定义有以下两种方法:

    微分

    微分的本质是非线性函数的局部线性化,微分的几何意义是局部切线段近似代替曲线段。设函数 y=f(x) 在点 x0 的某邻域内有定义,且 x0+Δx 在该邻域内 ,有函数增量关系式:

    Δy=f(x0+Δx)f(x0)=AΔx+o(Δx)Δy=dy,Δx=dx,A=f(x)dy=f(x)dx

    偏导数

    偏导数是研究二元及以上多元函数性态的数学工具,其定义与导数的定义是一致的。以二元函数 f(x,y) 为例,在计算时,只需将另一变量视为常数,来对另一个变量进行求导。

    x 的偏导数:

    f(x,y)x=limΔx0f(x0+Δx,y0)f(x0,y0)Δx

    y 的偏导数:

    f(x,y)y=limΔy0f(x0,y0+Δy)f(x0,y0)Δy

    而对于可高阶求导的函数有一阶偏导和二阶偏导,具体如下:

    (1)一阶偏导

    x 的偏导y 的偏导
    fx(x,y)=f(x,y)xfy(x,y)=f(x,y)y

    (2)二阶偏导

     x 的偏导y 的偏导
    纯偏导fxx(x,y)=x(f(x,y)x)=2f(x,y)x2fyy(x,y)=y(f(x,y)y)=2f(x,y)y2
    混合偏导fxy(x,y)=y(f(x,y)x)=2f(x,y)xyfyx(x,y)=x(f(x,y)y)=2f(x,y)yx

    哈密顿算子

    哈密顿算子,符号 (读作nabla ),是一个 n 维向量算子,不同维度具体形式不同,具体如下:【为了公式简洁,这里使用 f 代替 f(x,y,z),下文均同】

    维度 算子f
    二元函数=(x,y)=xi+yjf=(f(x,y)x,f(x,y)y)
    三元函数=(x,y,z)=xi+yj+zkf=(f(x,y,z)x,f(x,y,z)y,f(x,y,z)z)

    注意:向量的表示方法有两种

    拉普拉斯算子

    拉普拉斯算子,符号 Δ(读作德塔),是一个标量,或者说是二阶纯偏导数之和,以三元函数为例,其定义为:

    Δ==2=(x,y,z)(x,y,z)=2x2+2y2+2z2
    维度Δ 算子Δf
    二元函数Δ=22x+2y2Δf=2f(x,y)x2+2f(x,y)y2
    三元函数Δ=2x2+2y2+2z2Δf=2f(x,y,z)x2+2f(x,y,z)y2+2f(x,y,z)z2

    梯度

    梯度是一个向量。设三元函数 f(x,y,z) 在点 P(x0,y0,z0) 处具有一阶偏导数,则定义 f(x,y,z) 在点 P(x0,y0,z0) 处的梯度为:【 f(x,y,z) 是标量函数,而后续的散度、旋度的函数 f(x,y,z) 是矢量函数,两者有质的区别,请注意区分】

    gradf(x,y,z)|P(x0,y0,z0)=f(x,y,z)|P(x0,y0,z0)=(f(x,y,z)x,f(x,y,z)y,f(x,y,z)z)|P(x0,y0,z0)=f(x0,y0,z0)xi+f(x0,y0,z0)yj+f(x0,y0,z0)zk=fx(x0,y0,z0)i+fy(x0,y0,z0)j+fz(x0,y0,z0)k

    二元函数同理可得:

    gradf(x,y)|P(x0,y0)=f(x,y)|P(x0,y0)=(fx,fy)|P(x0,y0)=f(x0,y0)xi+f(x0,y0)yj=fx(x0,y0)i+fy(x0,y0)j

    【例】求 f(x,y)=x2+y2 在点 P(1,1) 处的梯度 gradf(x,y)

    解:根据题意有:

    fx=2xfy=2ygradf(x,y)|P(1,1)=f(x,y)|P(1,1)=(fx,fy)|P(x0,y0)=(2x,2y)|P(1,1)=(2,2)

    散度

    散(sàn)度是指向量的发散程度。下图是正负电荷发出或接受到的电场线的示意图,由于电场是矢量,因此可以使用矢量函数 f(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j=(P(x,y),Q(x,y)) 描述电场线,注意这里是使用电场矢量正交分解后的正交矢量叠加来表示的。

    二元函数的散度的定义为:

    divf(x,y)=f(x,y)=(x,y)(P(x,y),Q(x,y))=P(x,y)x+Q(x,y)y

    同理可得三元函数的散度:

    divf(x,y,z)=f(x,y,z)=P(x,y)x+Q(x,y)y+R(x,y,z)zf(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

    从结果来看,散度是一个标量,而散度的数值大小表示了发散程度的大小,正负符号表示了发散还是会聚,因此散度的物理意义是通量密度。具体如下分析:

    divf<0divf=0divf>0
    image-20230512203815259image-20230512205408686image-20230512204127303
    负电荷
    电场线会聚
    电荷在匀强电场中
    既不发散,也不会聚
    正电荷
    电场线发散

    拓展:设标量函数 F=F(x,y,z),因此有:

    由此可见,散度是一个标量!

    通量

    由散度可知,散度是表征矢量的发散程度的标量,在物理上称为通量密度。对某截面的所有通量(矢量)进行积分就得到了总的通量,由此可定义通量:

    Φ=ΣP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy()f(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)kΣ:

    此类积分也称为第二类曲面积分,在后续再作进一步的阐述。根据散度和通量的物理意义,散度与通量的关系如下:

    divf<0divf=0divf>0
    image-20230513143833148image-20230513143858650image-20230513143928582
    通量:只进不出通量:进 = 出通量:只出不进

    旋度

    旋度用于表征旋转程度的数值特征,即表征目标点附近的运动情况(运动方向、数值的大小),因此,旋度是矢量。

    设某矢量函数 f(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k (在物理中通常用于描述磁场的旋转程度),旋度称为环流密度。旋度定义为:

    rotf(x,y,z)=×f(x,y,z)=|ijkxyzPQR|

    同理可得二元函数的旋度:f(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j

    rotf(x,y)=×f(x,y)=|xyPQ|

    旋度的物理意义:

    旋度物理意义
    向量方向旋转方向
    数值 > 0在该点附近逆时针旋转
    数值 = 0无旋转趋势,曲线积分与路径无关,换线积分
    数值 < 0在该点附近顺时针旋转
    数值大小旋转的速度

    拓展:设标量函数 F=F(x,y,z),因此有:

    由此可见,旋度是一个矢量!

    环流

    在矢量场中,任意取一闭合曲线 ,将矢量沿该曲线积分称之为环流。由此环流定义为:

    Φ=lFdl=lP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

    image-20230514154109965

    同理可得二元函数的环流:F=P(x,y)i+Q(x,y)j=(P(x,y),Q(x,y))

    Φ=lFdl=lP(x,y)dx+Q(x,y)dy

    此类积分也称为第二类曲线积分,在后续再作进一步的阐述。

    积分运算

    一重积分与第一类曲线积分

    一重定积分与第一类曲面积分的原理相同。一重定积分是第一类曲面积分的特例,如下图所示,曲线 f(x) 在某范围内 [a,b] 与坐标轴围成的面积(A)等于该曲线的定积分,定积分可用无限小的梯形面积之和替代,即:A=abf(x)dx。而第一类曲面积分与一重定积分不同之处在于底不同,即 dxds 的差异。使用微分的思想(以直代曲)可得到:

    ds=(Δx)2+(Δy)2=(dx)2+(dy)2=1+(dydx)2dx=1+(yx)2dx

    因此可以将第一类曲线积分转化为一重定积分,即:

    lf(x,y)ds=abf(x,y(x))1+(yx)2dx

    这就是我们熟悉的“一投二代三计算”的由来!

    定积分第一类曲线积分
    abf(x)dxlf(x,y)ds
    image-20230514173559719image-20231230174332630

    二重积分与第一类曲面积分

    二重积分是计算曲面 f(x,y) 与坐标面之间的体积。二重积分与第一类曲面积分的关系可以类比与一重定积分与第一类曲线积分的关系,二重积分是在固定的平面区域 D 内进行积分,而第一类曲面积分则是在固定的曲面区域 Σ 内进行积分,因此可以将第一类曲面积分转化为二重积分,方法也是一投二代三计算。

    Σf(x,y,z)dS=Dxyf(x,y,z(x))1+(zx)2+(zy)2dxdy
    名称二重积分第一型曲面积分
    积分形式Df(x,y)dσΣf(x,y,z)dS
    积分域image-20230516143509513image-20231230191442913

    注意:上述图形是积分域并不是被积函数的图形!!!

    三重积分

    三重积分的被积函数 f(x,y,z) 定义在三维空间 Ω 上,其描述的是四维空间的图形体积,过于抽象无法直观的理解。三重积分的物理意义是:三维空间中点密度为 ρ=f(x,y,z) 的物体质量,即:

    dm=f(x,y,z)dv(m=ρv)m=Ωf(x,y,z)dv=Ωf(x,y,z)dxdydz

    第二类曲线积分

    第二性曲线积分的被积函数 {:F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j:F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 定义在有向曲线 {:L:Γ 上,其物理背景是变力 {:F(x,y):F(x,y,z) 在曲线 {:L:Γ 上从起点到终点所做的总功,即:

    {:LF(x,y)dL=LP(x,y)dx+Q(x,y)dy:ΓF(x,y,z)dΓ=ΓP(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz

    对于封闭曲线的第二类曲线积分有两个重要的公式定律:

    {:LPdx+Qdy=Dxy|xyPQ|dxdy:ΓPdx+Qdy+Rdz=Σ|ijkxyzPQR|()=Σ|cosαcosβcosγxyzPQR|dS()

    第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系:

    LPdx+Qdy=L(Pcosα+Qsinα)ds

    其中 τ0=(cosα,sinα)L 在点 (x,y) 处与 L 同向的单位切向量。

    注意:

    第二类曲面积分

    第二类曲面积分的被积函数 F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k 定义在光滑的空间曲面 Σ 上,其物理背景在有向函数 F(x,y,z) 通过曲面 Σ通量

    ΣP(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy

    对于封闭曲面的第二类曲面积分有重要公式定律:

    ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=Ω(P,Q,R)dxdydz=ΩPx+Qy+Rzdxdydz

    第一类曲面积分与第二类曲面积分的联系:

    ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS

    其中 n0=(cosα,cosβ,cosγ)Σ 在点 (x,y,z) 处与 Σ 同侧的单位法向量。

     

    麦克斯韦方程组

    麦克斯韦方程组被称为宇宙最美丽的公式之一,是英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。

    麦克斯韦方程组由四部分组成:

    1. 高斯电场定律:该定律描述电场与空间中电荷分布的关系。电场线开始于正电荷,终止于负电荷(或无穷远)。该定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系
    2. 高斯磁场定律:该定律表明,磁单极子实际上并不存在,没有孤立磁荷,磁场线没有初始点,也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。该定律描述通过任意闭曲面的磁通量等于零,即:磁场是一个无源场。
    3. 法拉第感应定律:该定律描述时变磁场产生感应电场
    4. 麦克斯韦-安培定律:该定律阐明,磁场可以通过以下两种方法产生:一种是靠传导电流(原本的安培定律),另一种是靠时变电场,称位移电流(麦克斯韦修正项)。

    物质中的麦克斯韦方程组

    麦克斯韦方程组是通过电动力学的相关理论推导得到的,知识繁多。本文旨在探讨麦克斯韦方程组的求解过程,这里不对麦克斯韦方程组的来源进行详细阐述。值得说明的是,积分形式的麦克斯韦方程组在求解时较为复杂,因此,通常使用微分形式的麦克斯韦方程组进行求解,积分形式的作为了解即可。

    微分形式

    定理简洁形式(矢量)完整形式(标量)
    高斯电场定律D=ρDxx+Dyy+Dzz=ρ
    高斯磁场定律B=0Bxx+Byy+Bzz=0
    法拉第
    感应定律
    ×E=Bt|ijkxyzExEyEz|=(Bxt,Byt,Bzt)
    麦克斯韦-
    安培定律
    ×H=J+Dt|ijkxyzHxHyHz|=(Jx+Bxt,Jy+Byt,Jz+Bzt)

    积分形式

    {ΣDdS=ΩρdVΣBdS=0lEds=ΣBtdSlHds=Σ(J+Dt)dS
    符号说明积分类型符号说明
    ΣdS对封闭曲面 Σ 积分曲面积分dS微面元
    ΩdV对三维空间 Ω 积分三重积分ds微元弧
    lds对封闭曲线 l 积分曲线积分Σ曲面
    ΣdS对曲面 Σ 积分曲面积分Ω封闭空间

    真空中的麦克斯韦方程组

    真空中没有自由电荷和电流,因此只需将物质中的麦克斯韦方程组的自由电荷和电流的相关项令为 0 即可得到真空中的麦克斯韦方程组。

    微分形式

    定律物质中真空中
    高斯电场定律D=ρD=0
    高斯磁场定律B=0B=0
    法拉第感应定律×E=Bt×E=Bt
    麦克斯韦-安培定律×H=J+Dt×H=Dt

    积分形式

    定律物质中真空中
    高斯电场定律ΣDdS=ΩρdVΣDdS=0
    高斯磁场定律ΣBdS=0ΣBdS=0
    法拉第感应定律lEds=ΣBtdSlEds=ΣBtdS
    麦克斯韦-安培定律lHds=Σ(J+Dt)dSlHds=ΣDtdS

    物质方程

    光波在各种介质中的传播过程实际上就是光和介质相互作用的过程,因此,在各向同性介质和各向异性介质中是不一样的。物质方程边界条件初始条件 是麦克斯韦方程组的基本条件。

    各向同性物质方程

    {D=ϵEB=μHJ=σE

    各向异性物质方程

    {D=ϵEB=μHJ=σE

    含物质方程的麦克斯韦方程组

    后文在求解波动方程时,是使用含物质方程的麦克斯韦方程组进行求解。本文主要探究光波在各向同性介质中的情况,因此物质方程中的介质系数 ϵμσ 均取标量,是与空间位置和方向无关的常数。

    物质方程

    物质各向同性介质(标量)各向异性介质(张量)
    电学介质D=ϵED=ϵE
    磁学介质B=μHB=μH
    导电特性J=σEJ=σE

    微分形式

    定律物质中真空中
    高斯电场定律E=ρϵE=0
    高斯磁场定律H=0H=0
    法拉第感应定律×E=μHt×E=μ0Ht
    麦克斯韦-安培定律×H=ρE+ϵEt×H=ϵ0Et

    积分形式

    定律物质中真空中
    高斯电场定律ΣEdS=ΩρϵdVΣEdS=0
    高斯磁场定律ΣHdS=0ΣHdS=0
    法拉第感应定律lEds=μΣHtdSlEds=μ0ΣHtdS
    麦克斯韦-安培定律lHds=Σ(ρE+ϵEt)dSlHds=ϵ0ΣEtdS

     

    波动方程

    波动方程的解

    波动方程是根据牛顿第二定理对弦上的扰动传播进行分析得到的,考虑到这部分不是本文的重点,这里不做详细介绍,只需知道波动所满足的方程以及方程解的结构即可。满足以下二阶齐次线性偏微分方程和解的结构均为波动方程:

    {2f=1v22ft2 2fx2+2fy2+2fz2=1v22ft2f(r,t)=f(rvt,0){:f(rvt,0)=g(rvt):f(rvt,0)=h(rvt)

    通常情况下,一般选取沿着某一坐标轴方向传播进行研究,不同的教材选取的方向不同。如选取 z 轴方向进行研究,则其波动方程的解为:

    {:f(z,t)=f(zvt,0)=g(zvt):f(z,t)=f(zvt,0)=h(zvt)

    真空中的电磁波

    解真空中的电磁波

    下面给出的波动方程是将物质方程带入后的简化结果,值得注意的是,真空中没有自由电荷也没有电流,因此传导电流强度 J 和自由电荷体密度 ρ 均为 0。如果看不懂请补充微分相关知识基础。

    定理简洁形式(矢量)完整形式(标量)
    高斯电场定律E=0Exx+Eyy+Ezz=0
    高斯磁场定律H=0Hxx+Hyy+Hzz=0
    法拉第感应定律×E=μ0Ht|ijkxyzExEyEz|=μ0(Hxt,Hyt,Hzt)
    麦克斯韦-安培定律×H=ϵ0Et|ijkxyzHxHyHz|=ϵ0(Ext,Eyt,Ezt)

    由上述公式可知,法拉第感应定律与麦克斯韦-安培定律两个公式是矢量公式,需对公式进行一些处理使其更方便计算。具体做法是对法拉第感应定律与麦克斯韦-安培定律两个公式的两侧同时取旋度

    (1)法拉第感应定律

    ×E=μ0Ht×(×E)=×(μ0Ht){:×(×E)=(E)2E:×(μ0Ht)=μ0(×H)t(E)2E=μ0(×H)t(E=0)(×H=ϵ0Et)2E=μ0(ϵ0Et)t=μ0ϵ02Et22E=μ0ϵ02Et2

    (2)麦克斯韦-安培定律

    ×H=ϵ0Et×(×H)=×(ϵ0Et){:×(×H)=(H)2H:×(ϵ0Et)=ϵ0(×E)t(H)2H=ϵ0(×H)t(H=0)(×E=μ0Ht)2H=ϵ0(μ0Ht)t=μ0ϵ02Ht22H=μ0ϵ02Ht2

    (3)电磁波方程

    经上处理,得到了电磁波的偏微分方程,这是二阶线性齐次偏微分方程,分别描述了电场和磁场在真空空间中的传播。

    简洁式(矢量)完整式(标量)
    电场2E=μ0ϵ02Et2{2Exx2+2Exy2+2Exz2=μ0ϵ02Ext22Eyx2+2Eyy2+2Eyz2=μ0ϵ02Eyt22Ezx2+2Ezy2+2Ezz2=μ0ϵ02Ezt2
    磁场2H=μ0ϵ02Ht2{2Hxx2+2Hxy2+2Hxz2=μ0ϵ02Hxt22Hyx2+2Hyy2+2Hyz2=μ0ϵ02Hyt22Hzx2+2Hzy2+2Hzz2=μ0ϵ02Hzt2

    再次说明:

    (4)电磁波方程与波动方程

    {:2E=μ0ϵ02Et2:2H=μ0ϵ02Ht2:2f=1v22ft2

    对比电磁波方程与波动方程有:

    1v2=μ0ϵ0v=1μ0ϵ0=2.9979×108m/s=c

    该理论计算的传播速度与实验测量得到的光速是一致的,因此麦克斯韦认为光是电磁波!

    电磁波方程是一组三元函数的二阶线性齐次偏微分方程,采用不同的解题方法将得到满足上式方程组的解,不同的解意味着不同的光波。常见的解有:平面波球面波柱面波高斯光束

    沿 z 轴传播的平面波

    首先说明,光波中包含了电场矢量 E 和磁场矢量 H ,从传播特性上来看,它们的具有相同的地位,但从光波与介质的相互作用来看,磁场的作用远小于电场的作用,甚至不起作用。因此,通常把光波中的电场矢量 E 视为光矢量,即电场的振动称为光振动,在讨论光的波动特性时,只考虑电场矢量 E ,而忽略磁场矢量 H 的作用。

    假设在三维空间中一光波只沿着坐标系的 z 轴方向传播(注意:不是振动方向),而与 x,y 无关(这里的意思是指 Ex,y 的偏微分为 0,而 E 仍然是矢量!),此时的波动方程为:

    2E=μ0ϵ02Et2{2Exx2+2Exy2+2Exz2=μ0ϵ02Ext22Eyx2+2Eyy2+2Eyz2=μ0ϵ02Eyt22Ezx2+2Ezy2+2Ezz2=μ0ϵ02Ezt2x,yx,y0{2Exz2=μ0ϵ02Ext22Eyz2=μ0ϵ02Eyt22Ezz2=μ0ϵ02Ezt22Ez2=μ0ϵ02Et22Ez2=1v22Et22Ez21v22Et2=0(z1vt)(z+1vt)E=0

    令:

    {p=zvtq=z+vt{z=p+vtz=qvt{z=p+q2t=pq2v
    {zp=12zq=12tp=12vtq=12vfp=fzzp+fttp=(zpz+tpt)f=(12z+12vt)ffq=(12z12vt)f{p=12(z+1vt)q=12(z1vt)

    将该结果回代有:(这里使用到了全微分不变性原理)

    {p=12(z+1vt)q=12(z1vt)(z1vt)(z+1vt)E=0
    42Epq=02Epq=0{:E1=E(p)=E(zvt):E2=E(q)=E(z+vt)E=E1+E2=E(zvt)+E(z+vt)

    同理可得磁学矢量 H 的通解:

    H=H1+H2=H(zvt)+H(z+vt)

    因此得到了电磁波的通解:

    {:E=E1+E2=E(zvt)+E(z+vt):H=H1+H2=H(zvt)+H(z+vt)

    这是通解,不是解析解!

    该通解说明 EH 是以 (z+vt)(zvt) 为自变量的任意函数,各自以相同的速度 v 沿着 z 轴的正(右)、负(左)方向传播。一般选取沿 z 轴正方向传播的形式,即:(左加右减)

    {:E=E(zvt):H=H(zvt)

    上式是波动方程在沿 z 轴传播情况下的一般通解形式,根据具体条件的不同,可以采取不同的具体函数表示(解析解)。其中最简单、最普遍的解是三角函数形式,即:

    {:E=E0cos(zvt)=Excos(zvt)i+Eycos(zvt)j+Ezcos(zvt)k:H=H0cos(zvt)=Hxcos(zvt)i+Hycos(zvt)j+Hzcos(zvt)kkz=2πλ=ωv(kz沿z){:E=E0cos(kzzωt)=Excos(kzzωt)i+Eycos(kzzωt)j+Ezcos(kzzωt)k:H=H0cos(kzzωt)=Hxcos(kzzωt)i+Hycos(kzzωt)j+Hzcos(kzzωt)k

    下图是沿着 z 轴传播的平面电磁波(光波),电场矢量 E 、磁场矢量 H 与 传播矢量 r 之间的关系在下一节会进行详细阐述。

    光矢量

    一般平面波

    (1)平面波波动方程

    上式给出了沿 z 轴方向传播的光矢量波动函数的具体形式,使用一般的光矢量沿方向 r=xi+xj+xk 传播,且初始相位为 φ0 ,即可得到一般的光矢量波动函数:(注意:k^ 是传播矢量,k 是沿 z 轴的单位矢量)

    E=E0cos(k^rωt+φ0)=Excos(k^rωt+φ0)i+Eycos(k^rωt+φ0)j+Ezcos(k^rωt+φ0)k=Excos(kxrx+kyry+kzrzωt+φ0)i+Eycos(kxrx+kyry+kzrzωt+φ0)j+Ezcos(kxrx+kyry+kzrzωt+φ0)kH=H0cos(k^rωt+φ0)=Hxcos(k^rωt+φ0)i+Hycos(k^rωt+φ0)j+Hzcos(k^rωt+φ0)k=Hxcos(kxrx+kyry+kzrzωt+φ0)i+Hycos(kxrx+kyry+kzrzωt+φ0)j+Hzcos(kxrx+kyry+kzrzωt+φ0)k

    根据欧拉公式,可以使用复数表示光矢量波动函数,但只有取实部时才有现实物理意义!

    E=Re[E0ei(k^rωt+φ0)]=Excos(k^rωt+φ0)i+Eycos(k^rωt+φ0)j+Ezcos(k^rωt+φ0)kH=Re[H0ei(k^rωt+φ0)]=Hxcos(k^rωt+φ0)i+Hycos(k^rωt+φ0)j+Hzcos(k^rωt+φ0)k

    (2)传播数

    取特殊情况:t=0φ0=0 时,电矢量波动函数为:E=Ecos(k^r) 。根据三角函数的周期性,则有:

    E=E0cos(k^r)=E0cos[k^(r+λ)]=E0cos(k^r+k^λ)

    而三角函数的周期是 2π ,因此有:

    |k^|λ=2π|k^|=2πλ

    (3)电场矢量、磁场矢量与传播方向的关系

    根据上述可知一般平面光波波动函数为:

    E=Re[E0ei(k^rωt+φ0)]H=Re[H0ei(k^rωt+φ0)]

    对波动函数的 r 取散度,有:

    E=Re[E0ei(k^rωt+φ0)]=ik^Re[E0ei(k^rωt+φ0)]=ik^EH=Re[H0ei(k^rωt+φ0)]=ik^Re[H0ei(k^rωt+φ0)]=ik^H

    即:

    E=ik^EH=ik^H

    又由于麦克斯韦方程组和物质方程:

    {D=0B=0D=ϵ0EB=μ0H{E=Dϵ0=0H=Bμ0=0

    综上所述,可得:(注意:i 是虚数因子,而 i 是沿着 x 轴方向的单位向量)

    {ik^E=0ik^H=0i=1{k^E=0k^H=0{k^E=0k^H=0

    根据向量点乘的原理可知,传播矢量 k^ 与电场矢量 E 、磁场矢量 H 相互垂直

    (4)电场矢量与磁场矢量的关系

    {k^E=0k^H=0(k^E)(k^H)=0k^2EH=0EH=0

    由此可见,电场矢量 E 与磁场矢量 H 相互垂直

    下图给出了传播矢量 k^ 与电场矢量 E 、磁场矢量 H 三者之间的关系。

    矢量关系

    需要说明的是,上图给出的是任意传播方向 k^ ,而电场矢量 E 、磁场矢量 H 沿着轴传播的特殊情况。由于传播方向 k^ 、电场矢量 E 、磁场矢量 H 都是矢量,因此,当传播方向 k^ 、电场矢量 E 、磁场矢量 H 都是任一方向时,则波形更一般,以下给出了几种情况予以参考,然而这些波形均遵守上述结论!

    image-20230211201238446

    平面波1

    球面波

    由于磁矢量与物质的作用较弱,因此忽略磁矢量的作用,光矢量 = 电矢量。一个各向同性的理想点光源,它向外发射的光波是一个球面光波,即点光源位于一个理想球面的球心,其等相面是以点光源为中心,随着距离增大而逐渐扩展的同心球面。为了方便观察与理解,这里采用球面的投影面(圆)来展示其波动情况。下图是球面波的波动情况,图中取了两个传播方向予以展示。

    球面波0

    由于球面光波波阵面具有明显的对称性,在数学上使用球面坐标系求解球面波比直角坐标系更方便,在球面坐标系中,拉普拉斯算符为:

    2=2x2+2y2+2z2=1r2r(r2r)+1r2sinθr(sinθθ)+1r2sin2θ2φ

    其中,球面坐标系为:{x=rsinφcosθy=rsinφsinθz=rcosφr=x2+y2+z2 ,拉普拉斯算符从直角坐标系到球面坐标系的转换过程较为复杂,并非本文重点,故而不做详解,如需了解请自行查阅网络或书籍相关资料。

    球面波具有对称性可知,波动函数仅与半径 r 有关,与坐标 θφ 无关,因而球面光波的振幅只随距离 r 变化。因此,波动方程为:

    E=1v22Et21r2r(r2Er)=1v22Et22(rE)t21v22(rE)t2=0

    一般解为:

    E=E1+E2=E1(rvt)r+E2(r+vt)r

    其中:

    最简单的简谐球面光波波函数为:E=E0rcos(krωt)

    其复数形式为:E=E0rei(krωt)

    由下图分析可知,随着球面波阵面向外传播,它的半径越来越大。当远离波源足够远的地方,波阵面上的一个小区域将与平面的一部分非常相似。

    球面波2

    球面波4

    柱面波

    考虑一个理想化各向同性的无限长线光源发射的波形是一个无限长的圆柱面波阵面。遗憾的是,精确的数学讨论过于复杂,不宜在此进行讨论,故只做扼要的阐述各个步骤。在柱面坐标系上,拉普拉斯算符作用在 E 上得到:

    2E=1rr(rEr)+1r2Eθ+2Ez=1v22Et2

    其中,柱面坐标系为:{x=rcosθy=rsinθz=zr=x2+y2 ,在柱面对称的简单情形下 Eθ 无关,这意味着垂直于 z 轴的平面波与波阵面相交是一个圆。而 Ez 无关进一步限定波阵面是一个直立圆柱面,其中心在 z 轴上,长度为无限长。因而波动方程变成:

    2E=1rr(rEr)=1v22Et2

    经过一些运算,将对时间的依赖关系分离出去,上式柱面波动微分方程变成贝塞尔方程。贝塞尔方程的解在 r 值很大时逐渐趋于简单的三角函数。当 r 足够大时,柱面光波场的解为:

    E=E0rcos(krωt)E=E0rei(krωt)

    这代表一簇共轴圆柱面,充满整个空间,朝向或背离一条无限长直线波源行进。

    一个各向同性的无限长线光源(绿色轴,光源方向向右),发射的波是柱面光波,其等相位面是以线光源为中心轴,随着距离的增大而逐渐扩展的同轴圆柱面,如下图所示。

    柱面波

    生产柱面光波的常用生产方法:根据惠更斯-菲涅耳原理可知,将平面波透射到一条细长狭缝其产生的子波与柱面波相似,如下图所示。

    image-20240102131951955

    高斯光束

    高斯光束是由激光器产生的光束,激光既不是上文讨论的均匀平面光波、也不是均匀球面光波,而是一种振幅和等相位面都在变化的高斯球面光波。有关高斯光束的产生、传输特性的详情,请参考激光原理的相关教程。

    物质中的电磁波

    各向同性绝缘物质中传播的电磁波

    在各向同性绝缘物质中,既没有自由电荷也没有电流,因此麦克斯韦方程与物质方程为:

    {:D=0:B=0:×E=Bt:×H=Dt{:D=ϵE:B=μH:J=0
    {:E=0:H=0:×E=μHt:×H=ϵEt

    各向同性绝缘物质与真空中的麦克斯韦方程组的明显之处是:μ0ϵ0μϵ 取代,故而其解与真空中的波动方程与解形式相同,即:

    {:2E=μϵ2Et2:2H=μϵ2Ht2:2f=1v22ft2{:E=E0cos(k^rvt):H=H0cos(k^rvt)

    对比电磁波方程与波动方程有:

    1v2=μϵv=1μϵ=1μ0μrϵ0ϵ=cμrϵr=cnv=cn

    其中 n=μrϵr 是材料的折射率,除了铁磁性介质外,大多数介质的磁性都很弱,可以认为 μr1。因此,折率可表示为:

    n=ϵr

    此式称为麦克斯韦关系。因为 ϵr 总是大于 1 ,因而 v<c,这是导致光在物质中传播速度变慢的原因。对于一般介质,ϵrn 都是频率的函数,具体的函数关系取决于介质的特性,这部分的推导是使用经典理论推导得出的,一般在解释色散时给出推导过程,这里不做详解。

    值得说明的是,在色散的相关知识中给出了正常色散的折射率经验公式(柯西(Cauchy)公式):

    n=A+Bλ2+Cλ4

    ABC 是由所研究的介质特性决定的常数,对于一般的光学材料,这些常数值可由手册查到。

    各向同性非绝缘物质中传播的电磁波

    对于真空中与各向同性绝缘物质中的麦克斯韦方程组的解是在自由电荷密度 ρ 和自由电流密度 J 均为 0 的条件下得到的,这对于光在玻璃和纯水等介质中的传播是非常合理的。但对于导体来说,自由电荷密度 ρ 和自由电流密度 J 并不为 0 ,因而情况更复杂。由于对光在非绝缘介质(通常是指导体)中传播的研究较少,这里不予赘述。

    下图给出了电磁波在导体中某时刻沿着 z 方向(向导体内部方向)传播的波动情况,仅供参考。需要说明的是,在电磁波在导体中传播时,电场矢量和磁场矢量仍然相互垂直,但电场矢量和磁场矢量不再同相位传播。

    光在导体中传播

    小结论:

     

    总结

    本文用数学工具推导了麦克斯韦方程组的解,旨在了解解的过程,进而了解一些概念的定义来源。然而,这一过程不是那么简单的,需要有丰厚的数学知识才能理解这些步骤。根据“否定之否定”规律,只有一次次的否定自我认知局限,才能达到新高度,理解新知识。因此,想弄懂所有上述知识就必须一次次的重复学习,方能达到精而全,发现新世界!

    有几个重点数学知识再次予以提示:

    我相信大部分关注这部分知识的学习者都是学习数学一的,数学基础都不会太差,学起来并不会太困难,平时学起来困难是因为教材的跳步造成的。认真阅读完本文,相信你一定受益匪浅。

    由于编者水平有限,文中难免存在一些缺点和错误,殷切期望广大读者批评指正!

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