全网最全最详细的麦克斯韦方程组解析过程（修正）

声明：本文是对我本人2023年2月6日在知乎上发表的《全网最全的麦克斯韦方程组求解过程与光学基础概念》一文的修正与补充。此文发表时，原文作废，但并不删除，特此广而告之。同时也感谢读者们的批评指正！

摘要

本文通过数形结合的方法详细剖析了麦克斯韦方程组的求解过程，并通过数学的微积分工具导出了光波的波动方程。通过数形结合与数学推导的方法，在一定程度上解决了目前市面上许多关于麦克斯韦方程组书籍解析看不懂的痛点，有助于广大爱好者的学习与理解。

前言

痛点

你是否有过因为看不懂麦克斯韦方程组求解电磁波波动方程解析而放弃学习呢？我相信大部分学习者都存在这个问题，其原因包括但不限于：

数学基础差：麦克斯韦方程组是一个高度概括的微分（或积分）公式，其所包含的数学理论极其深刻，加之数学符号晦涩难懂，让人敬而远之，说是“闻风丧胆”也不为过。许多学习者认为自己没有深厚学习微积分理论，这导致学习起来非常困难。
物理基础差：麦克斯韦方程组不仅包含了深刻的数学理论，也包含了电场、磁场等大量物理知识，知识繁多冗杂，需要长时间的学习和积累才能深刻理解其中的知识内涵。
心理素质差：许多人对麦克斯韦方程组都是敬而远之，大肆鼓吹其枯燥无味，其次是大部分教学者自身不愿意花时间将麦克斯韦方程组讲解清楚，以至于许多学习者在学习麦克斯韦方程组时，心理素质极差，遇到一点困难就直接放弃了，克服不了一点困难。
无所谓心里：大多数人认为没必要搞懂麦克斯韦方程组的求解过程，只需要会用结果就行了，这对于实用主义者来说是无可厚非的，这种无所谓心态的普遍存在导致许多学习者不愿意详细解读，错失体验知识“美景”的过程，在应用中对许多内容总是一知半解。 “知其然，更要知其所以然”才是学习者该有的心态。

上述三个主要原因，而这一切既有自己的内部原因，也有外界的外部原因，要想学懂麦克斯韦方程组的求解，就必须解决好内部与外部的矛盾，即既要夯实自身数学基础，又要克服外界不利环境所带来的影响。

又有人问了，为什么非要纠结求解过程呢？会用不就行了？这自然是好处多多的。只有把握好理论框架才能更好的研究细节，而细节又有助于提升和巩固框架的建设。形如建高楼大厦，只有扎实的地基，才能建设更加稳固、高大、炫彩的楼层，而学习正是夯实基础的过程！

解决方案

为了解决上述存在的痛点，本文旨在通过高度连续、严密的数学推导与图形结合的方法一点点揭开电磁波的真面目。解决方案如下：

通俗易懂：首先介绍了解麦克斯韦方程组过程中所用的数学理论，为了方便理解，尽量避免使用陌生的数学符号和晦涩难懂的学术语言
数形结合：图形是最容易理解知识的方式，而本文会涉及大量的数学知识，因此使用图形能更好的理解知识
避重就轻：由于有些定义要相互联系才能更好的理解，因此文中会出现一些在解麦克斯韦方程组中用不到的知识，这部分知识是用于理解其广义概念的知识，这部分会点到即可，不在本文中做过度讲解
高度连续：为了保证知识和逻辑的连续性，本文避免像某些教材一样在推导时跳来跳去，因此会导致知识冗余、文本较长，但我认为便于学习是值得的，因此不必造成过大的心理压力

给读者的一些建议：

本文内容较长，但内容通俗易懂，不要给自己太大的心理压力
$\to$ $\to$ 整体（框架），该方式可有效解决局部与整体差异的矛盾，便于从整体上把握细节，从细节上补充整体
由于知识系统化较明显，建议寻找时间进行集中学习，避免零碎化学习
克服对自然科学的畏惧心理，战神自己的永远只有自己，害怕踏出第一步，那就永远到不了梦想的远方
知识较多，请静下心来研学，切不可急功近利
如读者有一定的数学基础可以直接跳过数学基础部分

数学基础

坐标系系统

坐标系可以直观的描述代数，既可以描述点、线、面等标量参数，也可以描述具有大小和方向的矢量参数，既可以描述实数域，也可以描述复数域，是几何与代数的基础。

直角坐标系

直角坐标系是描述几何与代数的最基本坐标系统，是由垂直的相交直线构成的，常用的直角坐标系包括一维、二维、三维直角坐标系，而更高维度的直角坐标系无法使用图形进行展示，而是使用正交的单位向量进行描述，称为标准正交基。

维度	坐标图形	标准正交基
一维（数轴）		——
二维（平面）		$\vec{x}= \left[\begin{array}{ccc}1\\0\end{array}\right],\vec{y}= \left[\begin{array}{ccc} 0\\1\end{array}\right]$
三维（空间）		$\vec{x}= \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\0\end{array}\right],\vec{y}= \left[\begin{array}{ccc}0\\1\\0\end{array}\right],\vec{z}= \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\end{array}\right]$
四维（高维）	——	$\vec{e_1}= \left[\begin{array}{ccc}1\\0\\0\\0\end{array}\right],\vec{e_2}= \left[\begin{array}{ccc}0\\1\\0\\0\end{array}\right],\vec{e_3}= \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\1\\0\end{array}\right],\vec{e_4}= \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\\1\end{array}\right]$

极坐标系

$\rho$ $\theta$ $P(\rho,\theta)$ 。

$P(x,y)=P(\rho,\theta)$ 转化关系如下：

{\begin{cases} x = ρ \cdot c o s θ \\ y = ρ \cdot s i n θ \end{cases} ⟹ {\begin{cases} ρ = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ θ = \arctan (\frac{y}{x}) \end{cases}

球面坐标系

$x^2+y^2=r^2$ 得到极坐标关系式为：

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = r^{2} ⟹ {\begin{cases} x = r \cdot c o s θ \\ y = r \cdot s i n θ \end{cases} ⟹ (r \cdot c o s θ)^{2} + (r \cdot s i n θ)^{2} = r^{2} \end{matrix}

$cos^2\theta+sin^2\theta=1$ .

球面坐标系的本质是三维的极坐标系，球面坐标系与空间直角坐标系的使用二维圆的转换方法得到如下结果：

\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z^{2} = r^{2} ⟹ {\begin{cases} y = r s i n φ \cdot s i n θ \\ x = r s i n φ \cdot c o s θ \\ z = r c o s φ \end{cases} \\ ⟹ (r s i n φ \cdot c o s θ)^{2} + (r s i n φ \cdot s i n θ)^{2} + (r c o s φ)^{2} \\ = (r s i n φ)^{2} (c o s^{2} θ + s i n^{2} θ) + (r c o s φ)^{2} = r^{2} (s i n^{2} φ + c o s^{2} φ) = r^{2} \end{matrix}

这种转化后的结果就是球面坐标系，其便于对含有平方项的空间被积函数进行积分，如下图所示：

\begin{matrix} \underset{Ω_{x y z}}{∭} f (x, y, z) d x d y d z = \underset{Ω_{r θ φ}}{∭} f (r c o s θ s i n φ, r s i n θ \cos φ, r c o s φ) \cdot d r \cdot (r \cdot d θ) \cdot (r s i n φ \cdot d φ) \\ = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} d θ \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} d φ \int_{r_{1} (φ, θ)}^{r_{2} (φ, θ)} f (r c o s θ s i n φ, r s i n θ \cos φ, r c o s φ) \cdot r^{2} s i n φ \cdot d r \end{matrix}

$dr$	$d\theta$	$d \varphi$

$0\le r < +\infty$	$0\le \theta \le2\pi$	$0\le\varphi \le \pi$
球面	弧面	圆锥面

柱面坐标系

$x0y$ $z$ 轴使用直角坐标系，如下图所示：

$x^2+y^2=r^2$ $z$ 的变化无关。其转换关系为：

{\begin{cases} x = r \cdot c o s θ \\ y = r \cdot s i n θ \\ z = z \end{cases}

三角函数

$\not=$ 正弦函数。

$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ $\displaystyle sin(x+\frac{\pi}{2})=cosx$ 。因此，选择合适自己的即可，无需过多纠结！

电磁波既与时间有关，也与空间位置有关。常见的正弦波函数为：

f (\vec{r}, t) = A c o s (\hat{k} \cdot \vec{r} + ω \cdot t + φ_{0})

符号	名称	说明
$f(\vec{r},t)$	函数	位置与时间的函数
$A$	振幅	波振动的大小
$\vec{r}$	位置函数	$\vec{r}$ 是矢量，后文会详细讲解
$\hat{k}$	波矢	$\displaystyle \vert\hat{k}\vert=\frac{2\pi}{\lambda}$ $\lambda$ 是空间周期，波长)
$\omega$	角速度	$\displaystyle \omega=\frac{2\pi}{T}$ $T$ 是时间周期)
$t$	时刻	——
$\varphi_0$	初相位	开始振动时的角度
$\hat{k}\cdot\vec{r}+\omega \cdot t+\varphi_0$	相位	某时刻某位置的角度

仅关于时间的正弦波函数

$\vec{r}=0$ $f(0,t)=Acos(\omega t+\varphi_0)$ ，这是一个标量函数！

仅关于位置的正弦波函数

$f(\vec{r},0)=Acos(\hat{k}\cdot\vec{r}+\varphi_0)$ $\hat{k}$ $\vec{r}$ $z$ 轴方向进行研究。要注意下面两者之间的差异，第一个是一般形式，第二个是特殊形式！

$t=0$ $\hat{k}$ 方向传播的正弦波（矢量）
- $\hat{k}=k_x\cdot \vec{i}+k_y\cdot \vec{j}+k_z\cdot \vec{k}$
- $\vec{r}=x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}+z\cdot \vec{k}$
- $\vec{i}、\vec{j}、\vec{k}$ $x、y、z$ 轴方向的单位向量

$t=0$ $z$ 轴方向传播的正弦波（标量）
- $r=z、\hat{k}=k_z$
- $f(x,0)=Acos(k_z z+\varphi_0)$

矢量运算

本文仅做简单介绍用于温习，相信学习者在阅读本文前对矢量有清晰明确的认识了，如果没有的话，在后续学习中遇到困难时，应及时补充相关的矢量知识。

定义

$2$
矢量：既有大小、又有方向的量，由称为向量，矢量可以使用坐标或向量进行表示，用末端坐标减去初始位置的坐标

向量	坐标表示法	向量表示法
$\vec{a}$	$\vec{a}=\overrightarrow{OA}=(3-0,2-0)=(3,2)$	$\vec{a}=\overrightarrow{OA} =(3-0)\vec{i}+ (2-0)\vec{j}=3\vec{i}+2\vec{j}$
$\vec{b}$	$\vec{b}=\overrightarrow{BC}=(3-5,4-1)=(-2,3)$	$\vec{b}=\overrightarrow{BC} =(3-5)\vec{i}+ (4-1)\vec{j}= -2\vec{i}+3\vec{j}$

说明：

$\vec{i}$ $x$ $x$ $1$ 的向量）
$\vec{j}$ $y$ $y$ $1$ 的向量）
$|\vec{b}|=\sqrt{(3-5)^2+(4-1)^2}=\sqrt{13}$
矢量的正负号：
- 正号：同向
- 负号：反向
矢量只与初始位置有关，与路径无关

两种基本分解合成方法

矢量只与初始位置有关，与路径无关，因此同一个向量可以使用两个或两个以上不同的向量表示，因此可以使用特殊的向量进行表示，如正交向量。矢量常使用两个矢量和的方法进行叠加合成，具体有三角形法则和四边形法则进行合成或分解，这在力、电场、磁场等物理矢量的合成与分解中是非常常见的，特别是正交的合成与分解为计算提供了便利。

名称	表达式	任意图解法	正交图解法
三角形法则	$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$
四边形法则	$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$

矢量基本运算法则

运算法则	表达式	图解
矢量相加	$\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$
矢量相减	$\vec{a}=\vec{c}+(-\vec{b})$
标量与矢量相乘	$\vec{b}=1.5\vec{a}$
矢量内积（点乘）	$\vec{a}\cdot\vec{b}= \vert\vec{a}\vert \vert\vec{b}\vert cos\theta$
矢量外积（叉乘）	$\vert \vec{a}\times\vec{b}\vert= \vert\vec{a}\vert \vert\vec{b}\vert sin\theta\\ \vec{a}\times\vec{b}= \vert\vec{a}\vert \vert\vec{b}\vert sin\theta\cdot\vec{n}$ $\vec{n}$ $\vec{a}、\vec{b}$ 的单位法向量

矢量内积的结果是标量，而矢量的外积是矢量，当矢量是三维空间向量时，其外积计算为：

\begin{matrix} \vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{matrix} | = | \begin{matrix} a_{y} & a_{z} \\ b_{y} & b_{z} \end{matrix} | \vec{i} + | \begin{matrix} a_{x} & a_{z} \\ b_{x} & b_{z} \end{matrix} | \vec{j} + | \begin{matrix} a_{x} & a_{y} \\ b_{x} & b_{y} \end{matrix} | \vec{k} \end{matrix}

$\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)$ $\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)$
$\vec{i}、\vec{j}、\vec{k}$ $x、y、z$ 轴的单位向量
$\left|\begin{matrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_x&a_y&a_z\\b_x&b_y&b_z \end{matrix}\right|$ ：三阶行列式

空间向量

单位向量

$1$ $\vec{i}、\vec{j}、\vec{k}$ $x、y、z$ $\vec{i}、\vec{j}$ 表示。

向量与曲面

$\vec{r}$ $x、y、z$ $\vec{r}_x、\vec{r}_y、\vec{r}_z$ $\vec{r}_x=a\cdot \vec{i}，\vec{r}_x=b\cdot \vec{j}， \vec{r}_x=c\cdot \vec{k}$ $a,b,c$ $\vec{r}$ $(0,0,0)$ $(a,b,c)$ 两点的向量，即：

\vec{r} = {\vec{r}}_{x} \cdot \vec{i} + {\vec{r}}_{y} \cdot \vec{j} + {\vec{r}}_{z} \cdot \vec{k} = a \cdot \vec{i} + b \cdot \vec{j} + c \cdot \vec{k}

同理有：

$\vec{r_0}$ $(x_0,y_0,z_0)$ $\vec{r}=x_0\vec{i}+y_0\vec{j}+z_0\vec{k}$
$\vec{r}$ $(x,y,z)$ $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$
$\vec{r}-\vec{r_0}$ $(\vec{r}-\vec{r_0})=(x-x_0)\vec{i}+(y-y_0)\vec{j}+(z-z_0)\vec{k}$
$\hat{k}$ $\vec{r}-\vec{r_0}$ $\hat{k}\cdot (\vec{r}-\vec{r}_0)=0$
$\hat{k}$ $\hat{k}=k_x\vec{i}+k_y\vec{j}+k_z\vec{k}$
$\displaystyle \vert \hat{k}\vert=\frac{2\pi}{\lambda}$

传播方向与振动方向

$x$ $\vec{r}=x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}+z\cdot \vec{k}$ $f(\vec{r})=Acos(\hat{k}\vec{r}+\varphi_0)$ $\hat{k}$ $\displaystyle k=\vert \hat{k}\vert=\frac{2\pi}{\lambda}$ $\omega t$ $\omega$ 类似。

传播方向：波传播的方向。显而易见，向右方向为波的传播方向。
振动方向：波振动的方向，与传播方向垂直

复变函数

复数与复变函数

$a+bi$ $a、b$ $a$ $b$ $i$ $z$ $z=a+bi$ $z$ $z$ 混为一谈，只是数学中一种习惯规定，使用其他字母替代也是可以的）

$z$ $b＝0$ $z=a$ 为纯实数；
$z$ $b≠0$ $a＝0$ $z=bi$ 为纯虚数。
$i=-1,\quad i^2=1$
$\bar{z}=a-bi$

$x,y$ $a,b$ 时，则表示整个复平面内所有的复数，称为复变函数，如下图所示。注意复数域与二维平面域有本质的区别，但某些性质却是相同的。

复数域：实轴 + 虚轴（实数 + 虚数 = 复数）
平面域：实轴 + 实轴（实数 + 实数 = 实数）

将复平面坐标系转化为极坐标系：

\begin{matrix} z = x + y i ⟹ {\begin{cases} x = r \cdot c o s θ \\ y = r \cdot s i n θ \end{cases} ⟹ \frac{y}{x} = \frac{r s i n θ}{r c o s θ} = t a n θ ⟹ {\begin{cases} θ = a r c t a n \frac{y}{x} \\ r = | z | = \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ z = r c o s θ + r s i n θ \cdot i \end{cases} \end{matrix}

$r=\vert z\vert=\sqrt{x^2+y^2}$
$\theta=arctan\frac{y}{x}$

欧拉公式

根据泰勒展开式有：

$\displaystyle e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots +\frac{z^n}{n!}+\cdots ,\quad z\in(-\infty,+\infty),z=x+yi$
$\displaystyle \sin y=y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}+\cdots+(-1)^n \frac{y^{2n+1}}{(2n+1)!}+ \cdots,\quad y\in (-\infty,+\infty)$
$\displaystyle \cos y=1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}+\cdots+(-1)^n \frac{y^{2n}}{(2n)!}+ \cdots,\quad y\in (-\infty,+\infty)$

$\displaystyle e^z=e^{x+yi}=e^x\cdot e^{yi}$ $x=0$ $e^z=e^{yi}$ 进行泰勒展开得：

\begin{aligned} e^{z} = e^{0 + y i} = e^{y i} & = 1 + y i + \frac{(y i)^{2}}{2!} + \frac{(y i)^{3}}{3!} + \dots + \frac{(y i)^{n}}{n!} + \dots \\ = 1 + y i + i^{2} \cdot \frac{y^{2}}{2!} + i^{3} \cdot \frac{y^{3}}{3!} + \dots + i^{n} \cdot \frac{y^{n}}{n!} + \dots \\ = 1 - y + \frac{y^{2}}{2!} - \frac{y^{3}}{3!} + \frac{y^{4}}{4!} - \frac{y^{5}}{5!} + \dots + \frac{y^{n}}{n!} + \dots \\ = (1 - \frac{y^{2}}{2!} + \frac{y^{4}}{4!} + \dots) - (y - \frac{y^{3}}{3!} + \frac{y^{5}}{5!} + \dots) \\ = c o s y - s i n y \\ = c o s y + s i n y \cdot i \end{aligned}

即：

e^{y i} = c o s y + s i n y \cdot i

$y$ $\theta$ $e^{\theta i}=cos\theta+sin\theta \cdot i$ 。

使用极坐标的转换中介，即可得到复变函数的三种形式，转换过程如下：

\begin{matrix} z = x + y i \to {\begin{cases} x = r c o s θ \\ y = r s i n θ \\ r^{2} = x^{2} + y^{2} \end{cases} \to z = r (c o s θ + s i n θ \cdot i) ⟹ z = r e^{θ i} \end{matrix}

$z=x+yi$
$z=r(cos\theta+sin\theta\cdot i)$
$z=re^{\theta i}$

复数与波函数

$z=r\cdot e^{\theta i}=r(cos\theta+sin\theta\cdot i)$ 可知，可以使用复数表示波函数，只有取实部时才有物理现实意义，即正弦波函数为：

\begin{matrix} R e (z) = R e (r \cdot e^{θ i}) = R e (r c o s θ + r s i n θ \cdot i) = r c o s θ \\ ⇓ \\ R e (A \cdot e^{(\vec{k} \cdot \vec{r} + ω \cdot t + φ_{0}) i}) = A c o s (\vec{k} \cdot \vec{r} + ω \cdot t + φ_{0}) = f (\vec{r}, t) \end{matrix}

复数具有良好的计算性质，使用复数来表示波函数可以避免三角函数的复杂计算过程，大大提高计算效率！本文也倾向使用该方法描述波函数。

微分运算

导数

导数是研究一元函数性态的重要工具，而偏微分是研究多元函数（二元及以上）性态的工具。导数的几何意义是函数某点的斜率（变化率），因此导数是一个数值，而非函数，将各点的导数使用光滑的曲线连接起来，则为导函数。导数的定义有以下两种方法：

$\displaystyle f'(x_0)=\lim \limits_{x \to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
$\displaystyle f'(x_0)=\lim \limits_{\Delta x \to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \limits_{\Delta x \to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

微分

微分的本质是非线性函数的局部线性化，微分的几何意义是局部用切线段来近似代替曲线段 $y=f(x)$ $x_0$ $x_0+ \Delta x$ 在该邻域内，有函数增量关系式：

\begin{matrix} Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) = A Δ x + o (Δ x) \\ ⇓ \\ Δ y = d y, Δ x = d x, A = f^{'} (x) \\ ⇓ \\ d y = f^{'} (x) d x \end{matrix}

$\Delta x$ ：自变量的增量
$\Delta y$ ：函数的增量
$dx$ ：自变量的微分
$dy$ ：函数的微分
$f'(x)$ ：导函数
$o(\Delta x)$ $\Delta x \to 0$ $o(\Delta x)=0$ $\lim\limits_{\Delta x\to0}o(\Delta x)=0$

偏导数

$f(x,y)$ 为例，在计算时，只需将另一变量视为常数，来对另一个变量进行求导。

$x$ 的偏导数：

\frac{\partial f (x, y)}{\partial x} = lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x, y_{0}) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ x}

$y$ 的偏导数：

\frac{\partial f (x, y)}{\partial y} = lim_{Δ y \to 0} \frac{f (x_{0}, y_{0} + Δ y) - f (x_{0}, y_{0})}{Δ y}

而对于可高阶求导的函数有一阶偏导和二阶偏导，具体如下：

（1）一阶偏导

$x$ 的偏导	$y$ 的偏导
$\displaystyle f'_x(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$	$\displaystyle f'_y(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$

（2）二阶偏导

	$x$ 的偏导	$y$ 的偏导
纯偏导	$\displaystyle f''_{xx}(x,y)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}$	$\displaystyle f''_{yy}(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}$
混合偏导	$\displaystyle f''_{xy}(x,y)=\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y}$	$\displaystyle f''_{yx}(x,y)=\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y \partial x}$

$f(x,y)$ $\Longrightarrow$ $f''_{xy}(x,y)=f''_{yx}(x,y)$ 】

哈密顿算子

$\nabla$ $n$ $f$ $f(x,y,z)$ ，下文均同】

维度	$\nabla$ 算子	$\nabla f$
二元函数	$\displaystyle \nabla=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y}\right)=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{j}$	$\displaystyle \nabla f=\left(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\right)$
三元函数	$\displaystyle \nabla=\left(\frac{\partial }{\partial x},\frac{\partial }{\partial y},\frac{\partial }{\partial z}\right)\\=\frac{\partial }{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial }{\partial y}\vec{j}+\frac{\partial }{\partial z}\vec{k}$	$\displaystyle \nabla f=\left(\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x},\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial y},\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}\right)$

注意：向量的表示方法有两种

$\vec{u}=(a,b)$
$\vec{u}=a\cdot\vec{i}+b\cdot\vec{j}$

拉普拉斯算子

$\Delta$ （读作德塔），是一个标量，或者说是二阶纯偏导数之和，以三元函数为例，其定义为：

Δ = \nabla \cdot \nabla = \nabla^{2} = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) \cdot (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}) = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}

维度	$\Delta$ 算子	$\Delta f$
二元函数	$\displaystyle \Delta=\frac{\partial^2 }{\partial^2 x}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}$	$\displaystyle \Delta f=\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}$
三元函数	$\displaystyle \Delta=\frac{\partial^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial^2 }{\partial y^2}+\frac{\partial^2 }{\partial z^2}$	$\displaystyle \Delta f=\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f(x,y,z)}{\partial z^2}$

梯度

$f(x,y,z)$ $P(x_0,y_0,z_0)$ $f(x,y,z)$ $P(x_0,y_0,z_0)$ $f(x,y,z)$ $\overrightarrow{f(x,y,z)}$ 是矢量函数，两者有质的区别，请注意区分】

\begin{matrix} \vec{g r a d} f (x, y, z) |_{P (x_{0}, y_{0}, z_{0})} = \nabla \cdot f (x, y, z) |_{P (x_{0}, y_{0}, z_{0})} \\ = (\frac{\partial f (x, y, z)}{\partial x}, \frac{\partial f (x, y, z)}{\partial y}, \frac{\partial f (x, y, z)}{\partial z}) |_{P (x_{0}, y_{0}, z_{0})} \\ = \frac{\partial f (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{\partial x} \cdot \vec{i} + \frac{\partial f (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{\partial y} \cdot \vec{j} + \frac{\partial f (x_{0}, y_{0}, z_{0})}{\partial z} \cdot \vec{k} \\ = f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \vec{i} + f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \vec{j} + f_{z}^{'} (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \cdot \vec{k} \end{matrix}

二元函数同理可得：

\begin{matrix} \vec{g r a d} f (x, y) |_{P (x_{0}, y_{0})} = \nabla f (x, y) |_{P (x_{0}, y_{0})} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) |_{P (x_{0}, y_{0})} \\ = \frac{\partial f (x_{0}, y_{0})}{\partial x} \cdot \vec{i} + \frac{\partial f (x_{0}, y_{0})}{\partial y} \cdot \vec{j} = f_{x}^{'} (x_{0}, y_{0}) \cdot \vec{i} + f_{y}^{'} (x_{0}, y_{0}) \cdot \vec{j} \end{matrix}

$f(x,y)=x^2+y^2$ $P(1,1)$ $\overrightarrow{grad}f(x,y)$

解：根据题意有：

\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x} = 2 x \frac{\partial f}{\partial y} = 2 y \\ \vec{g r a d} f (x, y) |_{P (1, 1)} = \nabla f (x, y) |_{P (1, 1)} = (\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}) |_{P (x_{0}, y_{0})} = (2 x, 2 y) |_{P (1, 1)} = (2, 2) \end{matrix}

散度

$\overrightarrow{f(x,y)}=P(x,y)\cdot\vec{i}+Q(x,y)\cdot \vec{j}=(P(x,y),Q(x,y))$ 描述电场线，注意这里是使用电场矢量正交分解后的正交矢量叠加来表示的。

二元函数的散度的定义为：

d i v \vec{f (x, y)} = \nabla \cdot \vec{f (x, y)} = (\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}) \cdot (P (x, y), Q (x, y)) = \frac{\partial P (x, y)}{\partial x} + \frac{\partial Q (x, y)}{\partial y}

同理可得三元函数的散度：

\begin{matrix} d i v \vec{f (x, y, z)} = \nabla \cdot \vec{f (x, y, z)} = \frac{\partial P (x, y)}{\partial x} + \frac{\partial Q (x, y)}{\partial y} + \frac{\partial R (x, y, z)}{\partial z} \\ \vec{f (x, y, z)} = P (x, y, z) \cdot \vec{i} + Q (x, y, z) \cdot \vec{j} + R (x, y, z) \cdot \vec{k} = (P (x, y, z), Q (x, y, z), R (x, y, z)) \end{matrix}

从结果来看，散度是一个标量，而散度的数值大小表示了发散程度的大小，正负符号表示了发散还是会聚，因此散度的物理意义是通量密度。具体如下分析：

$div \vec{f}<0$	$div\vec{f}=0$	$div\vec{f}>0$

负电荷电场线会聚	电荷在匀强电场中既不发散，也不会聚	正电荷电场线发散

$F=F(x,y,z)$ ，因此有：

$\overrightarrow{grad}F=\nabla\cdot F=\vec{f}=P(x,y,z)\cdot\vec{i}+Q(x,y,z)\cdot \vec{j}+R(x,y,z)\cdot \vec{k}$
$\displaystyle div \vec{f}=\nabla \cdot \vec{f}=\nabla\cdot(\nabla\cdot F)= \frac{\partial^2 F(x,y,z)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 F(x,y,z)}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 F(x,y,z)}{\partial z^2}$

由此可见，散度是一个标量！

通量

由散度可知，散度是表征矢量的发散程度的标量，在物理上称为通量密度。对某截面的所有通量（矢量）进行积分就得到了总的通量，由此可定义通量：

\begin{matrix} Φ = \iint_{Σ} P (x, y, z) d y d z + Q (x, y, z) d z d x + R (x, y, z) d x d y \\ 矢 量 函 数 (被 积 函 数) ： \vec{f (x, y, z)} = P (x, y, z) \cdot \vec{i} + Q (x, y, z) \cdot \vec{j} + R (x, y, z) \cdot \vec{k} \\ Σ : 积 分 曲 面 区 域 ， 可 以 是 规 则 的 ， 也 可 以 是 不 规 则 的 \end{matrix}

此类积分也称为第二类曲面积分，在后续再作进一步的阐述。根据散度和通量的物理意义，散度与通量的关系如下：

$div \vec{f}<0$	$div\vec{f}=0$	$div\vec{f}>0$

通量：只进不出	通量：进 = 出	通量：只出不进

旋度

旋度用于表征旋转程度的数值特征，即表征目标点附近的运动情况（运动方向、数值的大小），因此，旋度是矢量。

$\overrightarrow{f(x,y,z)}=P(x,y,z)\cdot\vec{i}+Q(x,y,z)\cdot \vec{j}+R(x,y,z)\cdot \vec{k}$ （在物理中通常用于描述磁场的旋转程度），旋度称为环流密度。旋度定义为：

\begin{matrix} r o t \vec{f (x, y, z)} = \nabla \times \vec{f (x, y, z)} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix} | \end{matrix}

$\overrightarrow{f(x,y)}=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}$

\begin{matrix} r o t \vec{f (x, y)} = \nabla \times \vec{f (x, y)} = | \begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ P & Q \end{matrix} | \end{matrix}

旋度的物理意义：

旋度	物理意义
向量方向	旋转方向
数值 > 0	在该点附近逆时针旋转
数值 = 0	无旋转趋势，曲线积分与路径无关，换线积分
数值 < 0	在该点附近顺时针旋转
数值大小	旋转的速度

$F=F(x,y,z)$ ，因此有：

$\overrightarrow{grad}F=\nabla\cdot F=\vec{f}=P(x,y,z)\cdot\vec{i}+Q(x,y,z)\cdot \vec{j}+R(x,y,z)\cdot \vec{k}$
$\displaystyle rot \vec{f}=\nabla \times \vec{f}=\nabla\times(\nabla\cdot F)= \left |\begin{matrix} \vec{i} &\vec{j}&\vec{k} \\\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix} \right|$

由此可见，旋度是一个矢量！

环流

在矢量场中，任意取一闭合曲线，将矢量沿该曲线积分称之为环流。由此环流定义为：

Φ = \oint_{l} \vec{F} \cdot d \vec{l} = \oint_{l} P (x, y, z) d x + Q (x, y, z) d y + R (x, y, z) d z

$\vec{F}$ $\vec{F}=P(x,y,z)\cdot\vec{i}+Q(x,y,z)\cdot\vec{j}+R(x,y,z)\cdot\vec{k}=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))$
$\vec{l}$ $\vec{F}$ 的定义域内的一条分段光滑的有向曲线

$\vec{F}=P(x,y)\cdot\vec{i}+Q(x,y)\cdot\vec{j}=(P(x,y),Q(x,y))$

Φ = \oint_{l} \vec{F} \cdot d \vec{l} = \oint_{l} P (x, y) d x + Q (x, y) d y

此类积分也称为第二类曲线积分，在后续再作进一步的阐述。

积分运算

一重积分与第一类曲线积分

$f(x)$ $[a,b]$ $A$ $\displaystyle A=\int_a^bf(x)dx$ $dx$ $ds$ 的差异。使用微分的思想（以直代曲）可得到：

d s = \sqrt{(Δ x)^{2} + (Δ y)^{2}} = \sqrt{(d x)^{2} + (d y)^{2}} = \sqrt{1 + {(\frac{d y}{d x})}^{2}} d x = \sqrt{1 + (y_{x}^{'})^{2}} d x

因此可以将第一类曲线积分转化为一重定积分，即：

\int_{l} f (x, y) d s = \int_{a}^{b} f (x, y (x)) \cdot \sqrt{1 + (y_{x}^{'})^{2}} \cdot d x

这就是我们熟悉的“一投二代三计算”的由来！

定积分	第一类曲线积分
$\displaystyle \int_a^b f(x)dx$	$\displaystyle \int_lf(x,y)ds$

二重积分与第一类曲面积分

$f(x,y)$ $D$ $\Sigma$ 内进行积分，因此可以将第一类曲面积分转化为二重积分，方法也是一投二代三计算。

$\Sigma:z=z(x,y)$
$\iint \limits_{\Sigma} \to \iint \limits_{D_{xy}}\\$
$f(x,y,z) \to f(x,y,z(x))$
$dS=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2}=\sqrt{1+(z'_x)^2+(z'_y)^2}dxdy$

\iint_{Σ} f (x, y, z) d S = \iint_{D_{x y}} f (x, y, z (x)) \sqrt{1 + (z_{x}^{'})^{2} + (z_{y}^{'})^{2}} d x d y

名称	二重积分	第一型曲面积分
积分形式	$\displaystyle \iint\limits_D f(x,y)d\sigma$	$\displaystyle \iint\limits_{\Sigma}f(x,y,z)dS$
积分域

注意：上述图形是积分域并不是被积函数的图形！！！

三重积分

$f(x,y,z)$ $\Omega$ 上，其描述的是四维空间的图形体积，过于抽象无法直观的理解。三重积分的物理意义是： $\rho=f(x,y,z)$ 的物体质量，即：

\begin{matrix} d m = f (x, y, z) d v (m = ρ v) \\ ⇓ \\ m = \underset{Ω}{∭} f (x, y, z) d v = \underset{Ω}{∭} f (x, y, z) d x d y d z \end{matrix}

第二类曲线积分

$\begin{cases}平面:\vec{F}(x,y)=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}\\空间:\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k} \end{cases}$ $\begin{cases}平面:\vec{L}\\空间:\vec{\Gamma} \end{cases}$ $\begin{cases}平面:\vec{F}(x,y)\\空间:\vec{F}(x,y,z) \end{cases}$ $\begin{cases}平面:\vec{L}\\空间:\vec{\Gamma} \end{cases}$ 上从起点到终点所做的总功，即：

{\begin{cases} 平 面 : \int_{L} \vec{F} (x, y) d \vec{L} = \int_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y \\ 空 间 : \int_{Γ} \vec{F} (x, y, z) d \vec{Γ} = \int_{Γ} P (x, y, z) d x + Q (x, y, z) d y + R (x, y, z) d z \end{cases}

对于封闭曲线的第二类曲线积分有两个重要的公式定律：

$L$ $D$
$\Gamma$ $\Sigma$ 的边界
两者本质相同，只是行列数阶数不同

{\begin{cases} 平 面 : \oint_{L} P d x + Q d y = \iint_{D_{x y}} | \begin{array}{ccc} \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} \\ P & Q \end{array} | d x d y \\ \begin{aligned} 空 间 : \oint_{Γ} P d x + Q d y + R d z = & \iint_{Σ} | \begin{array}{cccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array} | (第 二 类 曲 面 积 分 形 式) \\ = & \iint_{Σ} | \begin{array}{cccc} c o s α & c o s β & c o s γ \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{array} | d S (第 一 类 曲 面 积 分 形 式) \end{aligned} \end{cases}

第一类曲线积分与第二类曲线积分的联系：

\int_{L} P d x + Q d y = \int_{L} (P c o s α + Q s i n α) d s

$\vec{\tau_0}=(cos\alpha,sin\alpha)$ $L$ $(x,y)$ $L$ 同向的单位切向量。

注意：

$ds$ ：微元弧
$dS$ ：微元面

第二类曲面积分

$\vec{F}(x,y,z)=P(x,y,z)\vec{i}+Q(x,y,z)\vec{j}+R(x,y,z)\vec{k}$ $\Sigma$ $\vec{F}(x,y,z)$ $\Sigma$ 的通量：

\iint_{Σ} P (x, y, z) d y d z + Q (x, y, z) d z d x + R (x, y, z) d x d y

对于封闭曲面的第二类曲面积分有重要公式定律：

$\Sigma$ $\Omega$

\begin{matrix} \underset{Σ}{∯} P d y d z + Q d z d x + R d x d y & = \underset{Ω}{∭} \nabla \cdot (P, Q, R) d x d y d z \\ = \underset{Ω}{∭} \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} d x d y d z \end{matrix}

第一类曲面积分与第二类曲面积分的联系：

\iint_{Σ} P d y d z + Q d z d x + R d x d y = \iint_{Σ} (P c o s α + Q c o s β + R c o s γ) d S

$\vec{n_0}=(cos\alpha,cos\beta,cos\gamma)$ $\Sigma$ $(x,y,z)$ $\Sigma$ 同侧的单位法向量。

麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组被称为宇宙最美丽的公式之一，是英国物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦在19世纪建立的一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程。

麦克斯韦方程组由四部分组成：

高斯电场定律：该定律描述电场与空间中电荷分布的关系。电场线开始于正电荷，终止于负电荷（或无穷远）。该定律描述穿过任意闭曲面的电通量与这闭曲面内的电荷之间的关系。
高斯磁场定律：该定律表明，磁单极子实际上并不存在，没有孤立磁荷，磁场线没有初始点，也没有终止点。磁场线会形成循环或延伸至无穷远。该定律描述通过任意闭曲面的磁通量等于零，即：磁场是一个无源场。
法拉第感应定律：该定律描述时变磁场产生感应电场。
麦克斯韦-安培定律：该定律阐明，磁场可以通过以下两种方法产生：一种是靠传导电流（原本的安培定律），另一种是靠时变电场，称位移电流（麦克斯韦修正项）。

物质中的麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组是通过电动力学的相关理论推导得到的，知识繁多。本文旨在探讨麦克斯韦方程组的求解过程，这里不对麦克斯韦方程组的来源进行详细阐述。值得说明的是，积分形式的麦克斯韦方程组在求解时较为复杂，因此，通常使用微分形式的麦克斯韦方程组进行求解，积分形式的作为了解即可。

微分形式

定理	简洁形式(矢量)	完整形式(标量)
高斯电场定律	$\nabla \cdot \vec{D}=\rho$	$\displaystyle \frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}=\rho$
高斯磁场定律	$\nabla \cdot \vec{B}=0$	$\displaystyle \frac{\partial B_x}{\partial x}+\frac{\partial B_y}{\partial y}+\frac{\partial B_z}{\partial z}=0$
法拉第感应定律	$\displaystyle \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$	$\left\vert\begin{array}{cccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ E_x & E_y & E_z \end{array}\right\vert=-\left(\frac{\partial B_x}{\partial t},\frac{\partial B_y}{\partial t},\frac{\partial B_z}{\partial t}\right)$
麦克斯韦- 安培定律	$\displaystyle \nabla \times \vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$	$\left\vert\begin{array}{cccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ H_x & H_y & H_z \end{array}\right\vert=\left(J_x+\frac{\partial B_x}{\partial t},J_y+\frac{\partial B_y}{\partial t},J_z+\frac{\partial B_z}{\partial t}\right)$

$\vec{D}$ $\vec{D}=\vec{D}(x,y,z)=D_x(x,y,z)\cdot \vec{i}+D_y(x,y,z)\cdot \vec{j}+D_z(x,y,z)\cdot \vec{k}$
$\vec{B}$ $\vec{B}=\vec{B}(x,y,z)=B_x(x,y,z)\cdot \vec{i}+B_y(x,y,z)\cdot \vec{j}+B_z(x,y,z)\cdot \vec{k}$
$\vec{E}$ $\vec{E}=\vec{E}(x,y,z)=E_x(x,y,z)\cdot \vec{i}+E_y(x,y,z)\cdot \vec{j}+E_z(x,y,z)\cdot \vec{k}$
$\vec{H}$ $\vec{H}=\vec{H}(x,y,z)=H_x(x,y,z)\cdot \vec{i}+H_y(x,y,z)\cdot \vec{j}+H_z(x,y,z)\cdot \vec{k}$
$\vec{J}$ $\vec{J}=\vec{J}(x,y,z)=J_x(x,y,z)\cdot \vec{i}+J_y(x,y,z)\cdot \vec{j}+J_z(x,y,z)\cdot \vec{k}$
$\rho$ ：自由电荷体密度
$t$ ：时间
$\nabla$ $\displaystyle \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right)$
$\nabla \cdot \vec{D}$ $\displaystyle \nabla \cdot \vec{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}$ $\nabla \cdot \vec{B}$ 同理
$\nabla \times \vec{E}$ $\nabla \times \vec{E}=\left\vert \begin{array}{cccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ E_x & E_y & E_z \end{array} \right\vert$ $\nabla \times \vec{H}$ 同理
$\vec{i}$ $\vec{j}$ $\vec{k}$ $x$ $y$ $z$ 方向的单位向量

积分形式

{\begin{cases} 高 斯 电 场 定 律 ： \underset{Σ}{∯} \vec{D} \cdot d \vec{S} = \underset{Ω}{∭} ρ \cdot d V \\ 高 斯 磁 场 定 律 ： \underset{Σ}{∯} \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0 \\ 法 拉 第 感 应 定 律 ： \oint_{l} \vec{E} \cdot d \vec{s} = - \iint_{Σ} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{S} \\ 麦 克 斯 韦 - 安 培 定 律 ： \oint_{l} H \cdot d \vec{s} = \iint_{Σ} (\vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{S} \end{cases}

符号	说明	积分类型	符号	说明
$\displaystyle \oiint\limits_{\Sigma} d\vec{S}$	$\Sigma$ 积分	曲面积分	$d\vec{S}$	微面元
$\displaystyle \iiint\limits_{\Omega} dV$	$\Omega$ 积分	三重积分	$d\vec{s}$	微元弧
$\displaystyle \oint_l d\vec{s}$	$l$ 积分	曲线积分	$\Sigma$	曲面
$\displaystyle \iint\limits_{\Sigma} d\vec{S}$	$\Sigma$ 积分	曲面积分	$\Omega$	封闭空间

真空中的麦克斯韦方程组

$0$ 即可得到真空中的麦克斯韦方程组。

微分形式

定律	物质中	真空中
高斯电场定律	$\displaystyle \nabla \cdot \vec{D}=\rho$	$\displaystyle \nabla \cdot \vec{D}=0$
高斯磁场定律	$\displaystyle \nabla \cdot \vec{B}=0$	$\displaystyle \nabla \cdot \vec{B}=0$
法拉第感应定律	$\displaystyle \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$	$\displaystyle \nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$
麦克斯韦-安培定律	$\displaystyle \nabla \times \vec{H} =\vec{J}+ \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$	$\displaystyle \nabla \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$

积分形式

定律	物质中	真空中
高斯电场定律	$\displaystyle \oiint\limits_{\Sigma} \vec{D}\cdot d\vec{S}=\iiint\limits_\Omega \rho\cdot dV$	$\displaystyle \oiint\limits_{\Sigma} \vec{D}\cdot d\vec{S}=0$
高斯磁场定律	$\displaystyle \oiint\limits_{\Sigma} \vec{B}\cdot d\vec{S}=0$	$\displaystyle \oiint\limits_{\Sigma} \vec{B}\cdot d\vec{S}=0$
法拉第感应定律	$\displaystyle \oint_l \vec{E}\cdot d\vec{s}=-\iint\limits_{\Sigma} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{S}$	$\displaystyle \oint_l \vec{E}\cdot d\vec{s}=-\iint\limits_{\Sigma} \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{S}$
麦克斯韦-安培定律	$\displaystyle \oint_l H \cdot d\vec{s}= \iint\limits_{\Sigma} \left(\vec{J}+ \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\right) \cdot d\vec{S}$	$\displaystyle \oint_l H \cdot d\vec{s}= \iint\limits_{\Sigma} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot d\vec{S}$

物质方程

光波在各种介质中的传播过程实际上就是光和介质相互作用的过程，因此，在各向同性介质和各向异性介质中是不一样的。物质方程、边界条件、初始条件 是麦克斯韦方程组的基本条件。

各向同性物质方程

{\begin{cases} 电 学 介 质 ： \vec{D} = ϵ \vec{E} \\ 磁 学 介 质 ： \vec{B} = μ \vec{H} \\ 导 电 特 性 ： \vec{J} = σ \vec{E} \end{cases}

$\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$ ：介电常数（标量）
- $\epsilon_0$ ：真空介电常数
- $\epsilon_r$ ：相对介电常数
$\mu=\mu_0\mu_r$ ：介质磁导率（标量）
- $\mu_0$ ：真空磁导率
- $\mu_r$ ：相对磁导率
$\sigma$ ：电导率（标量）

各向异性物质方程

{\begin{cases} 电 学 介 质 ： \vec{D} = \vec{ϵ} \cdot \vec{E} \\ 磁 学 介 质 ： \vec{B} = \vec{μ} \cdot \vec{H} \\ 导 电 特 性 ： \vec{J} = \vec{σ} \cdot \vec{E} \end{cases}

$\vec{\epsilon}=\vec{\epsilon}(x,y,z)$ ：介电常数（矢量）
$\vec{\mu}=\vec{\mu}(x,y,z)$ ：介质磁导率（矢量）
$\vec{\sigma}=\vec{\sigma}(x,y,z)$ ：电导率（矢量）
$\vec{\epsilon}(x,y,z),\vec{\mu}(x,y,z),\vec{\sigma}(x,y,z)$ 是空间位置的坐标函数，称为张量。
$\epsilon$ $\mu$ $\sigma$ 均为标量，是与空间位置和方向无关的常数。
$\epsilon$ $\sigma$ 与光强长无关。
$\sigma=0$ 。
$\mu_r=1$

含物质方程的麦克斯韦方程组

$\epsilon$ $\mu$ $\sigma$ 均取标量，是与空间位置和方向无关的常数。

物质方程

物质	各向同性介质(标量)	各向异性介质(张量)
电学介质	$\vec{D}=\epsilon \vec{E}$	$\vec{D}=\vec{\epsilon}\cdot\vec{E}$
磁学介质	$\vec{B}=\mu \vec{H}$	$\vec{B}=\vec{\mu} \cdot \vec{H}$
导电特性	$\vec{J}=\sigma \vec{E}$	$\vec{J}=\vec{\sigma}\cdot \vec{E}$

微分形式

定律	物质中	真空中
高斯电场定律	$\displaystyle \nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho}{\epsilon}$	$\displaystyle \nabla \cdot \vec{E}=0$
高斯磁场定律	$\displaystyle \nabla \cdot \vec{H}=0$	$\displaystyle \nabla \cdot \vec{H}=0$
法拉第感应定律	$\displaystyle \nabla \times \vec{E}=-\mu\frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$	$\displaystyle \nabla \times \vec{E}=-\mu_0\frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$
麦克斯韦-安培定律	$\displaystyle \nabla \times \vec{H} =\rho\vec{E}+ \epsilon\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$	$\displaystyle \nabla \times \vec{H} =\epsilon_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$

积分形式

定律	物质中	真空中
高斯电场定律	$\displaystyle \oiint\limits_{\Sigma} \vec{E}\cdot d\vec{S}=\iiint\limits_\Omega \frac{\rho}{\epsilon}\cdot dV$	$\displaystyle \oiint\limits_{\Sigma} \vec{E}\cdot d\vec{S}=0$
高斯磁场定律	$\displaystyle \oiint\limits_{\Sigma} \vec{H}\cdot d\vec{S}=0$	$\displaystyle \oiint\limits_{\Sigma} \vec{H}\cdot d\vec{S}=0$
法拉第感应定律	$\displaystyle \oint_l \vec{E}\cdot d\vec{s}=-\mu\iint\limits_{\Sigma} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \cdot d\vec{S}$	$\displaystyle \oint_l \vec{E}\cdot d\vec{s}=-\mu_0\iint\limits_{\Sigma} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \cdot d\vec{S}$
麦克斯韦-安培定律	$\displaystyle \oint_l H \cdot d\vec{s}= \iint\limits_{\Sigma} \left(\rho\vec{E}+ \epsilon \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right) \cdot d\vec{S}$	$\displaystyle \oint_l H \cdot d\vec{s}= \epsilon_0 \iint\limits_{\Sigma} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \cdot d\vec{S}$

波动方程

波动方程的解

波动方程是根据牛顿第二定理对弦上的扰动传播进行分析得到的，考虑到这部分不是本文的重点，这里不做详细介绍，只需知道波动所满足的方程以及方程解的结构即可。满足以下二阶齐次线性偏微分方程和解的结构均为波动方程：

{\begin{cases} 偏 微 分 方 程 ： \nabla^{2} f = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} \overset{完 整 形 式}{⟹} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} \\ 解 的 结 构 ： f (\vec{r}, t) = f (\vec{r} - v t, 0) {\begin{cases} 向 右 传 播 : f (\vec{r} - v t, 0) = g (\vec{r} - v t) \\ 向 左 传 播 : f (\vec{r} - v t, 0) = h (\vec{r} - v t) \end{cases} \end{cases}

$f=f(x,y,z,t)=f(\vec{r},t)$
$\vec{r}=\vec{r}(x,y,z)=x\cdot \vec{i}+y\cdot \vec{j}+z\cdot \vec{k}$ $(x,y,z)$ 的任意向量
$v$ ：传播速度

$z$ 轴方向进行研究，则其波动方程的解为：

{\begin{cases} 向 右 传 播 : f (z, t) = f (z - v t, 0) = g (z - v t) \\ 向 左 传 播 : f (z, t) = f (z - v t, 0) = h (z - v t) \end{cases}

真空中的电磁波

解真空中的电磁波

$\vec{J}$ $\rho$ $0$ 。如果看不懂请补充微分相关知识基础。

定理	简洁形式(矢量)	完整形式(标量)
高斯电场定律	$\nabla \cdot \vec{E}=0$	$\displaystyle \frac{\partial E_x}{\partial x}+\frac{\partial E_y}{\partial y}+\frac{\partial E_z}{\partial z}=0$
高斯磁场定律	$\nabla \cdot \vec{H}=0$	$\displaystyle \frac{\partial H_x}{\partial x}+\frac{\partial H_y}{\partial y}+\frac{\partial H_z}{\partial z}=0$
法拉第感应定律	$\displaystyle \nabla \times \vec{E}=-\mu_0\frac{\partial \vec{H}}{\partial t}$	$\left\vert\begin{array}{cccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ E_x & E_y & E_z \end{array}\right \vert=-\mu_0\cdot \left(\frac{\partial H_x}{\partial t},\frac{\partial H_y}{\partial t},\frac{\partial H_z}{\partial t}\right)$
麦克斯韦-安培定律	$\displaystyle \nabla \times \vec{H} =\epsilon_0 \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}$	$\left\vert\begin{array}{cccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{\partial} {\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\ H_x & H_y & H_z \end{array}\right\vert =\epsilon_0 \cdot \left(\frac{\partial E_x}{\partial t},\frac{\partial E_y}{\partial t},\frac{\partial E_z}{\partial t}\right)$

$\vec{E}$ $\vec{E}=\vec{E}(x,y,z)=E_x(x,y,z)\cdot \vec{i}+E_y(x,y,z)\cdot \vec{j}+E_z(x,y,z)\cdot \vec{k}$
$\vec{H}$ $\vec{H}=\vec{H}(x,y,z)=H_x(x,y,z)\cdot \vec{i}+H_y(x,y,z)\cdot \vec{j}+H_z(x,y,z)\cdot \vec{k}$

由上述公式可知，法拉第感应定律与麦克斯韦-安培定律两个公式是矢量公式，需对公式进行一些处理使其更方便计算。具体做法是对法拉第感应定律与麦克斯韦-安培定律两个公式的两侧同时取旋度。

（1）法拉第感应定律

\begin{matrix} \nabla \times \vec{E} = - μ_{0} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \\ ⇓ 取 旋 度 \\ \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla \times (- μ_{0} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}) \\ ⇓ \\ 两 侧 计 算 {\begin{cases} 左 侧 : \nabla \times (\nabla \times \vec{E}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^{2} \vec{E} \\ 右 侧 : \nabla \times (- μ_{0} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}) = - μ_{0} \frac{\partial (\nabla \times \vec{H})}{\partial t} \end{cases} \\ ⇓ \\ \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{E}) - \nabla^{2} \vec{E} = - μ_{0} \frac{\partial (\nabla \times \vec{H})}{\partial t} \\ ⇓ \\ 把 高 斯 电 场 定 律 (\nabla \cdot \vec{E} = 0) 、 麦 克 斯 韦 - 安 培 定 律 (\nabla \times \vec{H} = ϵ_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}) 带 入 上 式 得 \\ ⇓ \\ - \nabla^{2} \vec{E} = - μ_{0} \frac{\partial (ϵ_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t})}{\partial t} = - μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} \\ ⇓ \\ \nabla^{2} \vec{E} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} \end{matrix}

（2）麦克斯韦-安培定律

\begin{matrix} \nabla \times \vec{H} = ϵ_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \\ ⇓ 取 旋 度 \\ \nabla \times (\nabla \times \vec{H}) = \nabla \times (ϵ_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}) \\ ⇓ \\ 两 侧 计 算 {\begin{cases} 左 侧 : \nabla \times (\nabla \times \vec{H}) = \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{H}) - \nabla^{2} \vec{H} \\ 右 侧 : \nabla \times (ϵ_{0} \frac{\partial \vec{E}}{\partial t}) = ϵ_{0} \frac{\partial (\nabla \times \vec{E})}{\partial t} \end{cases} \\ ⇓ \\ \nabla \cdot (\nabla \cdot \vec{H}) - \nabla^{2} \vec{H} = ϵ_{0} \frac{\partial (\nabla \times \vec{H})}{\partial t} \\ ⇓ \\ 把 高 斯 磁 场 定 律 (\nabla \cdot \vec{H} = 0) 、 法 拉 第 感 应 定 律 (\nabla \times \vec{E} = - μ_{0} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t}) 带 入 上 式 得 \\ ⇓ \\ - \nabla^{2} \vec{H} = ϵ_{0} \frac{\partial (- μ_{0} \frac{\partial \vec{H}}{\partial t})}{\partial t} = - μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} \vec{H}}{\partial t^{2}} \\ ⇓ \\ \nabla^{2} \vec{H} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} \vec{H}}{\partial t^{2}} \end{matrix}

（3）电磁波方程

经上处理，得到了电磁波的偏微分方程，这是二阶线性齐次偏微分方程，分别描述了电场和磁场在真空空间中的传播。

场	简洁式(矢量)	完整式(标量)
电场	$\displaystyle \nabla^2 \vec{E}=\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$	$\begin{cases} \displaystyle \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2}=\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2} \\\\ \displaystyle \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2}=\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2} \\\\ \displaystyle \frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2}=\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 E_z}{\partial t^2}\end{cases}$
磁场	$\displaystyle \nabla^2 \vec{H}=\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2}$	$\begin{cases} \displaystyle \frac{\partial^2 H_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 H_x}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 H_x}{\partial z^2}=\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 H_x}{\partial t^2} \\\\ \displaystyle \frac{\partial^2 H_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 H_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 H_y}{\partial z^2}=\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 H_y}{\partial t^2} \\\\ \displaystyle \frac{\partial^2 H_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 H_z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 H_z}{\partial z^2}=\mu_0\epsilon_0 \frac{\partial^2 H_z}{\partial t^2}\end{cases}$

再次说明：

$\vec{E}=\vec{E}(x,y,z)=E_x(x,y,z)\cdot \vec{i}+E_y(x,y,z)\cdot \vec{j}+E_z(x,y,z)\cdot \vec{k}$
$\nabla^2 \vec{E}=\nabla^2E_x\cdot \vec{i}+\nabla^2E_y\cdot \vec{j}+\nabla^2E_z\cdot \vec{k}$
$E_x=E_x(x,y,z)$ $x$ 轴方向传播的分量，是标量，其余同理，因此上述的电磁波方程式标量方程！

（4）电磁波方程与波动方程

{\begin{cases} 电 场 方 程 : \nabla^{2} \vec{E} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} \\ 磁 场 方 程 : \nabla^{2} \vec{H} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} \vec{H}}{\partial t^{2}} \\ 波 动 方 程 : \nabla^{2} f = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} \end{cases}

对比电磁波方程与波动方程有：

\frac{1}{v^{2}} = μ_{0} ϵ_{0} ⟹ v = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} ϵ_{0}}} = 2.9979 \times 10^{8} m / s = c

该理论计算的传播速度与实验测量得到的光速是一致的，因此麦克斯韦认为光是电磁波！

电磁波方程是一组三元函数的二阶线性齐次偏微分方程，采用不同的解题方法将得到满足上式方程组的解，不同的解意味着不同的光波。常见的解有：平面波、球面波、柱面波、高斯光束。

$z$ 轴传播的平面波

$\vec{E}$ $\vec{H}$ $\vec{E}$ $\vec{E}$ $\vec{H}$ 的作用。

$z$ $x, y$ $\vec{E}$ $x,y$ $0$ $\vec{E}$ 仍然是矢量！），此时的波动方程为：

\begin{matrix} \nabla^{2} \vec{E} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} ⟹ {\begin{cases} \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial z^{2}} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial z^{2}} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial z^{2}} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial t^{2}} \end{cases} \\ ⇓ 与 x, y 无 关 \to 对 x, y 的 偏 导 为 0 \\ {\begin{cases} \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial z^{2}} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} E_{x}}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial z^{2}} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} E_{y}}{\partial t^{2}} \\ \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial z^{2}} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} E_{z}}{\partial t^{2}} \end{cases} ⟹ \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial z^{2}} = μ_{0} ϵ_{0} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} ⟹ \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial z^{2}} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} \\ ⇓ \\ \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial z^{2}} - \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} = 0 \\ ⇓ \\ (\frac{\partial}{\partial z} - \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}) (\frac{\partial}{\partial z} + \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}) \vec{E} = 0 \end{matrix}

令：

{\begin{cases} p = z - v t \\ q = z + v t \end{cases} ⟹ {\begin{cases} z = p + v t \\ z = q - v t \end{cases} ⟹ {\begin{cases} z = \frac{p + q}{2} \\ t = \frac{p - q}{2 v} \end{cases}

\begin{matrix} ⇓ \\ {\begin{matrix} \frac{\partial z}{\partial p} = \frac{1}{2} & \frac{\partial z}{\partial q} = \frac{1}{2} \\ \frac{\partial t}{\partial p} = \frac{1}{2 v} & \frac{\partial t}{\partial q} = - \frac{1}{2 v} \end{matrix} ⟹ \begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial p} & = \frac{\partial f}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial p} + \frac{\partial f}{\partial t} \frac{\partial t}{\partial p} \\ = (\frac{\partial z}{\partial p} \frac{\partial}{\partial z} + \frac{\partial t}{\partial p} \frac{\partial}{\partial t}) f \\ = (\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial z} + \frac{1}{2 v} \frac{\partial}{\partial t}) f \\ \frac{\partial f}{\partial q} & = (\frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial z} - \frac{1}{2 v} \frac{\partial}{\partial t}) f \end{aligned} ⟹ {\begin{cases} \frac{\partial}{\partial p} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial z} + \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}) \\ \frac{\partial}{\partial q} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial z} - \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}) \end{cases} \end{matrix}

将该结果回代有：(这里使用到了全微分不变性原理)

{\begin{cases} \frac{\partial}{\partial p} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial z} + \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}) \\ \frac{\partial}{\partial q} = \frac{1}{2} (\frac{\partial}{\partial z} - \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}) \end{cases} \to (\frac{\partial}{\partial z} - \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}) (\frac{\partial}{\partial z} + \frac{1}{v} \frac{\partial}{\partial t}) \vec{E} = 0

\begin{matrix} ⇓ \\ 4 \cdot \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial p \partial q} = 0 ⟹ \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial p \partial q} = 0 \\ ⇓ 解 得 两 个 解 \\ {\begin{cases} 向 右 传 播 : \vec{E_{1}} = \vec{E} (p) = \vec{E} (z - v t) \\ 向 左 传 播 : \vec{E_{2}} = \vec{E} (q) = \vec{E} (z + v t) \end{cases} \\ ⇓ 结 果 叠 加 性 \\ \vec{E} = \vec{E_{1}} + \vec{E_{2}} = \vec{E} (z - v t) + \vec{E} (z + v t) \end{matrix}

$\vec{H}$ 的通解：

\vec{H} = \vec{H_{1}} + \vec{H_{2}} = \vec{H} (z - v t) + \vec{H} (z + v t)

因此得到了电磁波的通解：

{\begin{cases} 电 场 : \vec{E} = \vec{E_{1}} + \vec{E_{2}} = \vec{E} (z - v t) + \vec{E} (z + v t) \\ 磁 场 : \vec{H} = \vec{H_{1}} + \vec{H_{2}} = \vec{H} (z - v t) + \vec{H} (z + v t) \end{cases}

这是通解，不是解析解！

$\vec{E}$ $\vec{H}$ $(z+vt)$ $(z-vt)$ $v$ $z$ $z$ 轴正方向传播的形式，即：(左加右减)

{\begin{cases} 电 场 : \vec{E} = \vec{E} (z - v t) \\ 磁 场 : \vec{H} = \vec{H} (z - v t) \end{cases}

$z$ 轴传播情况下的一般通解形式，根据具体条件的不同，可以采取不同的具体函数表示（解析解）。其中最简单、最普遍的解是三角函数形式，即：

\begin{matrix} {\begin{cases} 电 场 : \vec{E} = {\vec{E}}_{0} c o s (z - v t) = E_{x} c o s (z - v t) \cdot \vec{i} + E_{y} c o s (z - v t) \cdot \vec{j} + E_{z} c o s (z - v t) \cdot \vec{k} \\ 磁 场 : \vec{H} = {\vec{H}}_{0} c o s (z - v t) = H_{x} c o s (z - v t) \cdot \vec{i} + H_{y} c o s (z - v t) \cdot \vec{j} + H_{z} c o s (z - v t) \cdot \vec{k} \end{cases} \\ ⇓ k_{z} = \frac{2 π}{λ} = \frac{ω}{v} (k_{z} 沿 z 轴 方 向 的 是 传 播 数) \\ {\begin{cases} 电 场 : \vec{E} = {\vec{E}}_{0} c o s (k_{z} z - ω t) = E_{x} c o s (k_{z} z - ω t) \vec{i} + E_{y} c o s (k_{z} z - ω t) \vec{j} + E_{z} c o s (k_{z} z - ω t) \vec{k} \\ 磁 场 : \vec{H} = {\vec{H}}_{0} c o s (k_{z} z - ω t) = H_{x} c o s (k_{z} z - ω t) \vec{i} + H_{y} c o s (k_{z} z - ω t) \vec{j} + H_{z} c o s (k_{z} z - ω t) \vec{k} \end{cases} \end{matrix}

$z$ $\vec{E}$ $\vec{H}$ $\vec{r}$ 之间的关系在下一节会进行详细阐述。

$\vec{E}$
$\vec{H}$

一般平面波

（1）平面波波动方程

$z$ $\vec{r}=x\cdot\vec{i}+x\cdot\vec{j}+x\cdot\vec{k}$ $\varphi_0$ ，即可得到一般的光矢量波动函数：(注意： $\hat{k}$ $\vec{k}$ $z$ 轴的单位矢量)

\begin{aligned} \vec{E} & = {\vec{E}}_{0} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \\ = E_{x} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{i} + E_{y} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{j} + E_{z} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{k} \\ = E_{x} c o s (k_{x} r_{x} + k_{y} r_{y} + k_{z} r_{z} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{i} + E_{y} c o s (k_{x} r_{x} + k_{y} r_{y} + k_{z} r_{z} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{j} \\ + E_{z} c o s (k_{x} r_{x} + k_{y} r_{y} + k_{z} r_{z} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{k} \\ \vec{H} & = {\vec{H}}_{0} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \\ = H_{x} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{i} + H_{y} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{j} + H_{z} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{k} \\ = H_{x} c o s (k_{x} r_{x} + k_{y} r_{y} + k_{z} r_{z} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{i} + H_{y} c o s (k_{x} r_{x} + k_{y} r_{y} + k_{z} r_{z} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{j} \\ + H_{z} c o s (k_{x} r_{x} + k_{y} r_{y} + k_{z} r_{z} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{k} \end{aligned}

根据欧拉公式，可以使用复数表示光矢量波动函数，但只有取实部时才有现实物理意义！

\begin{aligned} \vec{E} & = R e [{\vec{E}}_{0} e^{i (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0})}] \\ = E_{x} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{i} + E_{y} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{j} + E_{z} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{k} \\ \vec{H} & = R e [{\vec{H}}_{0} e^{i (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0})}] \\ = H_{x} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{i} + H_{y} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{j} + H_{z} c o s (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0}) \cdot \vec{k} \end{aligned}

（2）传播数

$t=0，\varphi_0=0$ $\vec{E}=\vec{E}cos(\hat{k}\vec{r})$ 。根据三角函数的周期性，则有：

\vec{E} = {\vec{E}}_{0} c o s (\hat{k} \vec{r}) = {\vec{E}}_{0} c o s [\hat{k} (\vec{r} + λ)] = {\vec{E}}_{0} c o s (\hat{k} \vec{r} + \hat{k} λ)

$2\pi$ ，因此有：

| \hat{k} | λ = 2 π ⟹ | \hat{k} | = \frac{2 π}{λ}

$\hat{k}$ ：传播矢量，光波传播方向
$k=\vert \hat{k} \vert$ ：传播数，是传播矢量的大小

（3）电场矢量、磁场矢量与传播方向的关系

根据上述可知一般平面光波波动函数为：

\begin{aligned} \vec{E} & = R e [{\vec{E}}_{0} e^{i (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0})}] \\ \vec{H} & = R e [{\vec{H}}_{0} e^{i (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0})}] \end{aligned}

$\vec{r}$ 取散度，有：

\begin{aligned} \nabla \cdot \vec{E} & = \nabla \cdot R e [{\vec{E}}_{0} e^{i (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0})}] = i \hat{k} \cdot R e [{\vec{E}}_{0} e^{i (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0})}] = i \hat{k} \cdot \vec{E} \\ \nabla \cdot \vec{H} & = \nabla \cdot R e [{\vec{H}}_{0} e^{i (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0})}] = i \hat{k} \cdot R e [{\vec{H}}_{0} e^{i (\hat{k} \vec{r} - ω t + φ_{0})}] = i \hat{k} \cdot \vec{H} \end{aligned}

即：

\begin{array}{r} \nabla \cdot \vec{E} = i \hat{k} \cdot \vec{E} \\ \nabla \cdot \vec{H} = i \hat{k} \cdot \vec{H} \end{array}

又由于麦克斯韦方程组和物质方程：

{\begin{cases} 高 斯 电 场 定 律 ： \nabla \cdot D = 0 \\ 高 斯 磁 场 定 律 ： \nabla \cdot B = 0 \\ 电 学 介 质 ： D = ϵ_{0} E \\ 磁 学 介 质 ： B = μ_{0} H \end{cases} ⟹ {\begin{cases} \nabla \cdot E = \nabla \cdot \frac{D}{ϵ_{0}} = 0 \\ \nabla \cdot H = \nabla \cdot \frac{B}{μ_{0}} = 0 \end{cases}

$i$ $\vec{i}$ $x$ 轴方向的单位向量)

{\begin{cases} i \hat{k} \cdot \vec{E} = 0 \\ i \hat{k} \cdot \vec{H} = 0 \end{cases} \overset{i = - 1}{⟶} {\begin{cases} - \hat{k} \cdot \vec{E} = 0 \\ - \hat{k} \cdot \vec{H} = 0 \end{cases} ⟹ {\begin{cases} \hat{k} \cdot \vec{E} = 0 \\ \hat{k} \cdot \vec{H} = 0 \end{cases}

根据向量点乘的原理可知， $\hat{k}$ $\vec{E}$ $\vec{H}$ 相互垂直。

（4）电场矢量与磁场矢量的关系

{\begin{cases} \hat{k} \cdot \vec{E} = 0 \\ \hat{k} \cdot \vec{H} = 0 \end{cases} ⟹ (\hat{k} \cdot \vec{E}) \cdot (\hat{k} \cdot \vec{H}) = 0 ⟹ {\hat{k}}^{2} \cdot \vec{E} \cdot \vec{H} = 0 ⟹ \vec{E} \cdot \vec{H} = 0

由此可见， $\vec{E}$ $\vec{H}$ 相互垂直。

$\hat{k}$ $\vec{E}$ $\vec{H}$ 三者之间的关系。

$\vec{E}$
$\vec{H}$

$\hat{k}$ $\vec{E}$ $\vec{H}$ $\hat{k}$ $\vec{E}$ $\vec{H}$ $\hat{k}$ $\vec{E}$ $\vec{H}$ 都是任一方向时，则波形更一般，以下给出了几种情况予以参考，然而这些波形均遵守上述结论！

某平面电矢量平面波的波动情况

球面波

$=$ 电矢量。一个各向同性的理想点光源，它向外发射的光波是一个球面光波，即点光源位于一个理想球面的球心，其等相面是以点光源为中心，随着距离增大而逐渐扩展的同心球面。为了方便观察与理解，这里采用球面的投影面（圆）来展示其波动情况。下图是球面波的波动情况，图中取了两个传播方向予以展示。

由于球面光波波阵面具有明显的对称性，在数学上使用球面坐标系求解球面波比直角坐标系更方便，在球面坐标系中，拉普拉斯算符为：

\begin{aligned} \nabla^{2} & = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \\ = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} s i n θ} \frac{\partial}{\partial r} (s i n θ \frac{\partial}{\partial θ}) + \frac{1}{r^{2} s i n^{2} θ} \frac{\partial^{2}}{\partial φ} \end{aligned}

$\begin{cases} x=rsin\varphi \cdot cos\theta\\ y=rsin\varphi \cdot sin\theta \\z=rcos\varphi\\r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{cases}$ ，拉普拉斯算符从直角坐标系到球面坐标系的转换过程较为复杂，并非本文重点，故而不做详解，如需了解请自行查阅网络或书籍相关资料。

$r$ $\theta$ $\varphi$ $r$ 变化。因此，波动方程为：

\begin{matrix} \nabla \cdot \vec{E} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} ⟹ \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} \frac{\partial \vec{E}}{\partial r}) = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} \\ ⇓ \\ \frac{\partial^{2} (r \vec{E})}{\partial t^{2}} - \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} (r \vec{E})}{\partial t^{2}} = 0 \end{matrix}

一般解为：

\vec{E} = \vec{E_{1}} + \vec{E_{2}} = \frac{\vec{E_{1}} (r - v t)}{r} + \frac{\vec{E_{2}} (r + v t)}{r}

其中：

$\vec{E}_1(r-vt)$ $r$ 正方向向外发散的球面光波
$\vec{E}_2(r+vt)$ ：表示向原点传播的会聚球面光波
$\displaystyle \frac{\vec{E}_1(r-vt)}{r}$ $r$ 反比例变化，即距离越远，振幅越小

$\displaystyle \vec{E}=\frac{\vec{E}_0}{r}cos(kr-\omega t)$

$\displaystyle \vec{E}=\frac{\vec{E}_0}{r}e^{i(kr-\omega t)}$

由下图分析可知，随着球面波阵面向外传播，它的半径越来越大。当远离波源足够远的地方，波阵面上的一个小区域将与平面的一部分非常相似。

某截面球面光波的波动情况（二维——投影平面）

某截面球面光波的波动情况（三维——立体空间）

柱面波

$\vec{E}$ 上得到：

\nabla^{2} \vec{E} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial \vec{E}}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial \vec{E}}{\partial θ} + \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial z} = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}

$\begin{cases}x=rcos\theta\\ y=rsin\theta \\z=z\\r=\sqrt{x^2+y^2} \end{cases}$ $\vec{E}$ $\theta$ $z$ $\vec{E}$ $z$ $z$ 轴上，长度为无限长。因而波动方程变成：

\nabla^{2} \vec{E} = \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial \vec{E}}{\partial r}) = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}}

$r$ $r$ 足够大时，柱面光波场的解为：

\vec{E} = \frac{\vec{E_{0}}}{r} c o s (k r - ω t) ⟹ \vec{E} = \frac{\vec{E_{0}}}{r} e^{i (k r - ω t)}

这代表一簇共轴圆柱面，充满整个空间，朝向或背离一条无限长直线波源行进。

一个各向同性的无限长线光源（绿色轴，光源方向向右），发射的波是柱面光波，其等相位面是以线光源为中心轴，随着距离的增大而逐渐扩展的同轴圆柱面，如下图所示。

生产柱面光波的常用生产方法：根据惠更斯-菲涅耳原理可知，将平面波透射到一条细长狭缝其产生的子波与柱面波相似，如下图所示。

高斯光束

高斯光束是由激光器产生的光束，激光既不是上文讨论的均匀平面光波、也不是均匀球面光波，而是一种振幅和等相位面都在变化的高斯球面光波。有关高斯光束的产生、传输特性的详情，请参考激光原理的相关教程。

物质中的电磁波

各向同性绝缘物质中传播的电磁波

在各向同性绝缘物质中，既没有自由电荷也没有电流，因此麦克斯韦方程与物质方程为：

{\begin{cases} 高 斯 电 场 定 律 : \nabla \cdot \vec{D} = 0 \\ 高 斯 磁 场 定 律 : \nabla \cdot \vec{B} = 0 \\ 法 拉 第 感 应 定 律 : \nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t} \\ 麦 克 斯 韦 - 安 培 定 律 : \nabla \times \vec{H} = \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \end{cases} {\begin{cases} 电 学 介 质 : \vec{D} = ϵ \vec{E} \\ 磁 学 介 质 : \vec{B} = μ \vec{H} \\ 导 电 特 性 : \vec{J} = 0 \end{cases}

\begin{matrix} ⇓ \\ {\begin{cases} 高 斯 电 场 定 律 : \nabla \cdot \vec{E} = 0 \\ 高 斯 磁 场 定 律 : \nabla \cdot \vec{H} = 0 \\ 法 拉 第 感 应 定 律 : \nabla \times \vec{E} = - μ \cdot \frac{\partial \vec{H}}{\partial t} \\ 麦 克 斯 韦 - 安 培 定 律 : \nabla \times \vec{H} = ϵ \frac{\partial \vec{E}}{\partial t} \end{cases} \end{matrix}

$\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r$ ：介电常数（标量）
- $\epsilon_0$ ：真空介电常数
- $\epsilon_r$ ：相对介电常数
$\mu=\mu_0\mu_r$ ：介质磁导率（标量）
- $\mu_0$ ：真空磁导率
- $\mu_r$ ：相对磁导率

$\mu_0\epsilon_0$ $\mu\epsilon$ 取代，故而其解与真空中的波动方程与解形式相同，即：

{\begin{cases} 电 场 方 程 : \nabla^{2} \vec{E} = μ ϵ \frac{\partial^{2} \vec{E}}{\partial t^{2}} \\ 磁 场 方 程 : \nabla^{2} \vec{H} = μ ϵ \frac{\partial^{2} \vec{H}}{\partial t^{2}} \\ 波 动 方 程 : \nabla^{2} f = \frac{1}{v^{2}} \frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} \end{cases} ⟹ {\begin{cases} 电 场 : \vec{E} = {\vec{E}}_{0} c o s (\hat{k} \vec{r} - v t) \\ 磁 场 : \vec{H} = {\vec{H}}_{0} c o s (\hat{k} \vec{r} - v t) \end{cases}

对比电磁波方程与波动方程有：

\frac{1}{v^{2}} = μ ϵ ⟹ v = \frac{1}{\sqrt{μ ϵ}} = \frac{1}{\sqrt{μ_{0} μ_{r} ϵ_{0} ϵ}} = \frac{c}{\sqrt{μ_{r} ϵ_{r}}} = \frac{c}{n} ⟹ v = \frac{c}{n}

$n=\sqrt{\mu_r\epsilon_r}$ $\mu_r\approx 1$ 。因此，折率可表示为：

n = \sqrt{ϵ_{r}}

$\epsilon_r$ $1$ $v<c$ $\epsilon_r$ $n$ 都是频率的函数，具体的函数关系取决于介质的特性，这部分的推导是使用经典理论推导得出的，一般在解释色散时给出推导过程，这里不做详解。

值得说明的是，在色散的相关知识中给出了正常色散的折射率经验公式（柯西(Cauchy)公式）：

n = A + \frac{B}{λ^{2}} + \frac{C}{λ^{4}}

$A、B、C$ 是由所研究的介质特性决定的常数，对于一般的光学材料，这些常数值可由手册查到。

各向同性非绝缘物质中传播的电磁波

$\rho$ $\vec{J}$ $0$ $\rho$ $\vec{J}$ $0$ ，因而情况更复杂。由于对光在非绝缘介质（通常是指导体）中传播的研究较少，这里不予赘述。

$z$ 方向（向导体内部方向）传播的波动情况，仅供参考。需要说明的是，在电磁波在导体中传播时，电场矢量和磁场矢量仍然相互垂直，但电场矢量和磁场矢量不再同相位传播。

$\vec{E}$
$\vec{H}$

小结论：

$z$ 的增加，电磁波的强度逐渐减小
电场矢量和磁场矢量不再同相位传播
$\displaystyle \frac{1}{e}$ 时对应的距离称为趋肤深度，度量了波进入导体内的深度

总结

本文用数学工具推导了麦克斯韦方程组的解，旨在了解解的过程，进而了解一些概念的定义来源。然而，这一过程不是那么简单的，需要有丰厚的数学知识才能理解这些步骤。根据“否定之否定”规律，只有一次次的否定自我认知局限，才能达到新高度，理解新知识。因此，想弄懂所有上述知识就必须一次次的重复学习，方能达到精而全，发现新世界！

有几个重点数学知识再次予以提示：

三角函数，特别是图像、初相位、相位、振幅、传播方向等
矢量，特别是向量与空间曲线、空间曲面的关系，矢量的分解与合成等
复变函数，特别是复变函数与三角函数、指数函数的相互转化，复变函数的意义与性质
$e^x$ 的计算性质
微分运算，特别是微分算符、场论知识
积分运算，特别是多重积分与曲线、曲面积分涉及到“封闭型”的计算方法

我相信大部分关注这部分知识的学习者都是学习数学一的，数学基础都不会太差，学起来并不会太困难，平时学起来困难是因为教材的跳步造成的。认真阅读完本文，相信你一定受益匪浅。

由于编者水平有限，文中难免存在一些缺点和错误，殷切期望广大读者批评指正！

联系作者：

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知乎：冷思寒

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全网最全最详细的麦克斯韦方程组解析过程（修正）

摘要

前言

痛点

解决方案

数学基础

坐标系系统

直角坐标系

极坐标系

球面坐标系

柱面坐标系

三角函数

仅关于时间的正弦波函数

仅关于位置的正弦波函数

矢量运算

定义

两种基本分解合成方法

矢量基本运算法则

空间向量

单位向量

向量与曲面

传播方向与振动方向

复变函数

复数与复变函数

欧拉公式

复数与波函数

微分运算

导数

微分

偏导数

哈密顿算子

拉普拉斯算子

梯度

散度

通量

旋度

环流

积分运算

一重积分与第一类曲线积分

二重积分与第一类曲面积分

三重积分

第二类曲线积分

第二类曲面积分

麦克斯韦方程组

物质中的麦克斯韦方程组

微分形式

积分形式

真空中的麦克斯韦方程组

微分形式

积分形式

物质方程

各向同性物质方程

各向异性物质方程

含物质方程的麦克斯韦方程组

物质方程

微分形式

积分形式

波动方程

波动方程的解

真空中的电磁波

解真空中的电磁波

沿 zz 轴传播的平面波

一般平面波

球面波

柱面波

高斯光束

物质中的电磁波

各向同性绝缘物质中传播的电磁波

各向同性非绝缘物质中传播的电磁波

总结

$z$ 轴传播的平面波